Gestiunea riscului de rata a dobanzii

Gestiunea riscului de rata a dobanzii

1. Diferitele tipuri de rata a dobanzii.
2. Principalele rate de referinta.

Ratele directoare ale bancii centrale.

Ratele de referinta pe termen scurt.

3. Masurarea riscului de rata a dobanzii.

Definitia si natura riscului de rata a dobanzii.

Factorii de rentabilitate ai ratei dobanzii.

Variatia ratei si valoarea unui activ cu rata fixa.

Sensibilitatea.

Caracteristicile unui titlu cu rata fixa si sensibilitate: o ilustrare numerica.

Duration.

Duration: definitie.

Duration si sensibilitate.

O masura a riscului de rata complementara: convexitatea.

Duration si mici variatii ale ratei.

Duration si convexitatea functiei pret.

Convexitatea: definitie.

Convexitatea: calcul si utilizare.

1.Diferitele tipuri de rata a dobanzii.

Rate scurte si rate lungi.

Ratele scurte sunt ratele associate operatiilor financiare cu o durata cuprinsa intre o zi si un an. Operatiile cu o durata inferioara anului se efectueaza pe piata monetara. Ratele mai mari de un an se numesc pe termen lung. In interiorul acestei categorii, se distinge termenul mediu care regrupeaza scadentele de la un an la cinci ani si termenul lung care desemneaza scadentele mai mari de cinci ani. Aceasta terminologie este valabila, de asemenea, atat pe piata creditului cat si pe piatele financiare.

Rate creditoare si rate imprumutatoare.

Pe piata creditului bancar, ratele sunt negociate la banci si institutii financiare nebancare, care , pintre altele au o functie de intermediari intre creditori si imprumutatori. Pentru o aceeasi scadenta si o aceeasi contrapartida, o banca va propune doua rate: o rata creditoare sau rata oferita (offer rate) la care va accepta sa crediteze si o rata imprumutatoare sau rata ceruta (bid rate), la care accepta sa remunereze un plasament. Rata creditoare este intotdeauna superioara ratei imprumutatoare, acordul celor doua rate remunerand banca.

Rata faciala si rata de randament actuarial.

Numeroase tipuri de rate permit cuantificarea costului unei datorii sau randamentul unui activ cu rata fixa: rata faciala este utilizata pentru a calcula valoarea dobanzilor in timp ce costul efectiv al unei datorii sau rata de randament a unui plasament se apreciaza gratie ratei de randament actuarial.

A.    Rata faciala.

Rata faciala sau rata numerala este procentul anual care serveste la calculul dobanzilor sau cuponul in cazul unui titlu pe fiecare perioada de dabanda.

Se pot negocia dupa diferite modalitati. Se poate conveni ca rata faciala va lua o valoare constant ape intrega durata de viata a creditului sau a imprumutului (rate fixe) sau ce va lua o valoare diferita pe fiecare perioada de dobanda in functie de valoarea unei arte de referinta (rata variabila sau rata revizuibila).

Daca rata faciala determina suma dobanzilor, nu este reprezentativa pentru

costul efectiv al imprumutului sau al randamentului real al plasamentului. Acestea din urma depind de comparatia dintre fondurile investite (incasate) si fluxurile incasate (varsate) care se bazeaza pe calculul unei rate actuariale.

B.    Rata de randament actuarial.

Rata de randament actuarial a unei datorii sau a unui plasament este rata de actualizare, exprimata in procente anuale, care egalizeaza valuarea anuala a fluxurilor primate de creditor cu valoarea initiala a fondurilor. Daca periodicitatea fluxurilor este inferioara anului, rata de actualizare este condusa la o valoare anuala prin metoda ratelor echivalente.

Fie P pretul de cumparare al uni titlu de creante care varsa fluxurile anuale fixe Ft ale anului t=1 pana la anul t=T. Rata de randament actuarial a acestui titlu este rata r astfel incat asigura egalitatea:

Rata r reprezinta costul finantarii suportat de emitentul titlului si randamentul obtinut de detinatorul sau sub ipoteza ca fluxurile successive sunt imediat reinvestite la rata r pana in momentul T. Reciproc, relatia de calcul de mai sus semnifica ca, valoarea de piata P a unui activ cu rata fixa este o functie descrescatoare de rata de randament r ceruta de un investitor pentru a accepta achizitionarea activului.

Rata proportionala si rata echivalenta.

Pentru plasamentele sau imprumuturile care dau nastere la numeroase perioade de plata a dobanzilor inferioare anului (semestre, trimestre,luna), calculul pe fiecare perioada solicita determinarea pornind de la rata nominala anuala a unei rate corespunzatoare perioadei de calcul a dobanzii.

Metoda ratelor proportionale.

Doua rate care corespund unor perioade diferite se numesc proportionale daca raportul lor este egal cu raportul perioadelor lor de calcul ale dobanzii. Fie K raportul perioadelor de dobanda intre o rata i si o rata i. De exemplu, pentru o rata anuala de 12%: rata semestriala proprtionala este de 6%; rata trimestriala proportionala este de 3% si rata lunara proportionala este de 1%.

Dobanzile calculate pe o perioada neanula dupa metoda proportionala se numesc dobanzi simple.

Metoda ratei echivalente.

Doua rate corespunzatoare unor perioade diferite se numesc echivalente daca, pentu o suma plasata pe o aceeasi durata, conduc la aceeasi valoare dobandita. Fie K raportul perioadelor de dobanda intre o rata i si o rata i, ieste rata echivalenta ratei i daca , fie . De exemplu, pentruo rata anuala de 12%, rata trimestriala echivalenta este de .

Dobanzile calculate pe o perioada neanuala dupa metoda echivalenta se numesc dobanzi compuse.

2. Diferitele rate de referinta.

2.1. Ratele directoare ale bancii centrale.

O banca centrala are de ales dintre doua moduri de actiune pentru a pune la punct politica sa monetara: fie sa fixeze cantitatea de moneda centrala pe care o ofera pentru a credita institutiile financiare lasand rata de dobanda sa fluctueze in functie de cererea de moneda centrala, fie sa fixeze rata de dobanda la care ea crediteaza moneda centrala lasand cantitatea de moneda ceruta si sa ajusteze in consecinta. In zona euro, Banca Centrala Europeana(BCE) utilizeaza a doua metoda deoarece prima suporta riscuri de instabilitate a ratelor de dobanda pe termen scurt. Ea fixeaza o gama(paleta) de rate de la zi la zi la care ea este pregatita sa ceara si sa ofere moneda centrala si operatiunile de credit-imprumut corespunzatoare sunt gestionate de catre bancile centrale nationale. La aceste doua rate directoare, denumite rate ale facilitatilor permanente se adauga o a treia rata, denumita rata de refinantare la care stabilimentele de credit pot obtine lichiditati pe doua saptamani in cadrul operatiunilor de open-market.

A.    Facilitatile permanente ale BCE.

Doua facilitati permanente sunt la dispozitia stabilimentelor de credit: facilitatea de credit marginal, care permite stabilimentelor de credit de a imprumuta lichiditati bancii lor centrale nationale pentru o durata de 24h contra inmanarii de active si facilitatea de depozit, care le permite depunere de lichiditati pe 24h, de asemenea, contra renumeratie. Rata de credit marginal si rata de depozit definesc o polita care incadreaza rata de refinantare ce se aplica operatiunilor de open-market.

B.    Rata de refinantare a BCE.

Operatiunile de open-market sau operatiunile de refinantare sunt credite acordate de bancile centrale nationale contra cesiune temporara de titluri.Principalele operatiuni de refinantare sunt creditele pe doua saptamani. Rata de refinantare se situeaza in mod necesar in coridorul ratelor de facilitate permanente.

C.    Ratele directoare americane.

In SUA, politica monetara este condusa printr-un sistem de banci centrale, Federal Reserve System, denumit Fed. Politica monetara nord- americana este fixata de un consiliu independent, compus din sapte guvernatori cu sediul la Washington.Ea este pusa in aplicare de 12 banci nationale denumite District Banks. Fed administreaza ratele pe termen foarte scurt pe piata monedei centrale(Federal funds market) prin intermediul operatiilor de open-market pe de o parte si prin rata scrutului(Discount rate) pe de alta parte. Cele 12 banci nationale se situeaza la Boston, New York, Philadelphia, Cleveland, St. Louis, Minneapolis, Kansas City, Dallas si San Francisco.

Operatiunile de open-market si rata fondurilor federale.

Fed privilegiaza instrumentul operatiilor de open-market. Ele sunt prin Federal Reserve Bank din New York.

In fiecare zi, ea cumpara sau vinde titluri ale Tezaurului American contra platii in moneda centrala, ceea ce ii permite sa controleze cantitatea de moneda centrala in ciculatie. Aceasta cantitate determina rata de dobanda la care orice banca Americana poate imprumuta moneda centrala la o alta banca. Aceasta rata este rata fondurilor federale(federal funds rate). O crestere (scadere) a cantitatii de fonduri federale oferita prin Fed va provoca o crestere(scadere) a federal funds rate.

In afara operatiunilor de open-market, Fed utilizeaza marginal un al doilea instrument: rata scrutului.

Rata scrutului.

Stabilimentele de credit americane in deficit de fonduri federale pot, de asemenea, sa imprumute direct de la Federal Reserve Banks, la o rata denumita rata scrutului(discount rate). In practica, valorile imprumutate sunt reduse. Fed descurajeaza aceste operatiuni care au rolul sa acopere deficitele pe termen scurt ocazionale. Rata scrutului joaca in mod esential un rol de efect de anunt; traditional, o modificare a ratei scrutului de catre Fed semnaleaza o schimbare semnificativa in politica monetara americana.

2.2. Ratele de referinta pe termen scurt.

A.Eonia.

In fiecare zi, fiecare stabiliment bancar(din zona euro) determina rata la care accepta sa crediteze euro pentru 24h(rate over-night) pentru orice stabiliment de calitate de semnatura superioara. Federatia Bancara a Uniunii Europene(FBE) calculeaza zilnic o medie a acestor rate over-night ponderate prin sumele creditate. Aceasta medie este desemnata sub numele de Eonia(Euro Over-Night Index Average) de la punerea in circulatiei a monedei euro.

Valorile zilnice ale Eonia servesc la calculul altor referinte de rate pe piata monetara.

B.Ratele Euribor si Libor

Euribor (Euro Inter-Bank Offered Rate) este o medie a ratelor interbancare oferite pe depozite in euro intre bancile de cea mai buna semnatura din zona euro. Ea este calculata in fiecare zi de catre FBE pentru trei scadente saptamanale(1 saptamana, 2 saptamani si 3 saptamani) si pentru 12 scadente lunare, de la 1 luna la 12 luni, pornind de la ratele creditare comunicate de catre 57 stabilimente ce contribuie la calculul Eonia. Dupa acelasi principiu, pe piata Londrei, British Bankers'Association(BBA) publica zilnic ratele Libor (London Inter-Bank Offered Rate). Aceste rate Libor sunt stabilite in fiecare zi lucratoare, pentru sapte valute(GBP, EUR, CAD, USD, AUD, CHF si JPY) si pentru 17 scadente dela zi la zi si la 1 an.

Pentru fiecare valuta si fiecare scadenta, Libor este media ratelor oferite de un esantion de banci britanice constituit din minim opt contribuitori.

Aceste rate Euribor si Libor sunt adesea utilizate ca referinta pentru imprumuturi sau plasamente cu rata variabila care varsa dobanzi cu o frecventa inferioara anului.

3. Masurarea riscului de rata a dobanzii.

3.1. Definitia si natura riscului de rata a dobanzii.

Chiar din momentul in care o intreprindere crediteaza sau imprumuta sau chiar din momentul in care ea prevede sa se indatoreze sau sa plaseze lichiditati pe o piata a ratelor, ea este expusa la riscul de rata a dobanzii, acest risc fiind de natura diferita in functie de situatia vizata.

Definitia riscului de rata.

Riscul de rata-dobanzi este riscul de devalorizare a patrimoniului sau de diminuare a veniturilor unui agent economic datorate variatiilor ratelor de dobanda.

Orice agent economic care detine active sau passive cu rata fixa sau variabila este expus la acest risc. Sunt astfel vizate nu numai intreprinderile ci , de asemenea, bancile, companiile de asigurari, institutiile financiare, organele publice si colectivitatile locale.

Natura riscului de rata: risc in capital si risc in venit.

A.Riscul in capital.

Este riscul de depunere a patrimoniului intreprinderii legat de facilitatile ratelor de dobanda.

Evident, impactul unei variatii de rata paote fi defavorabil sau dimpotriva favorabil. O crestere a ratelor de dobanda care provoaca o depreciere a activelor si a pasivelor cu rata fixa, castigul sau pierderea neta angajata depinde de diferentialul de variatie dintre activ si pasiv. Acest castig sau aceasta pierdere este egal(a) cu suma variatiilor de valoare ale activelor cu rata fixa diminuata cu suma variatiilor de valoare ale datoriilor cu rata fixa.

Castig sau Pierdere=variatiilor de valoare ale activelor cu rata fixa-

variatiilor de valoare ale pasivelor cu rata fixa

Daca patrimoniul entitatii economice cuprinde active sau pasive cu rata variabila, fluxurile generate prin aceste instrumente va varia cu ratele de piata, variatia ratei de actualizare neproducand atunci decat putin impact asupra valorii lor. Riscul in capital poate fi, deci, considerat neglijabil asupra instrumentelor cu rata variabila.

In schimb, plasamentele sau datoriile cu rate variabile expun intreprinderea la riscul de rata in venit.

B. Riscul in venit.

Este riscul de diminuare a veniturilor intreprinderii legat de fluctuatiile ratelor de dobanda. Castigul sau pierderea este egal(a) cu diferentialul dintre variatia dabanzilor incasate si variatia dobanzilor varsate.

Castig sau Pierdere=variatilor dobanzilor incasate-

variatilor dobanzilor varsate.

C. O ilustrare a riscului in capital.

Sa luam cazul unei obligatiuni cu valoarea nominala de 1000, emisa an pair, rambursabila an pair, in fine, in 10 ani, care ofera un cupon anual cu rata nominala de 5%. Calculam pretul P al acestei obligatiuni in trei cazuri.

Initial, rata de randament ceruta pe piata pentru obligatiunile de acest tip, notata r, este de 5%.

P=

Daca rata de piata r scade la 4%:

P=

Daca rata de piata r creste la 6%:

P=

Pentru investitorul care detine obligatiunea, scaderea ratei de piata de la 5% la 4% angajeaza un castig de capital de 8,11% in timp ce o crestere a ratei de piata de la 5% la 6% genereaza o pierdere de capital de 7,36%.

Pentru emitent, castigul si pierderea in capital sunt de sens opus. Scaderea ratei de la 5% la 4% angajeaza o crestere a valorii de piata a dobanzii sale de 8,11%, adica o diminuare a valorii patrimoniului sau, in timp ce cresterea ratei de la 5% la 6% va majora valoarea de piata a datoriei sale si lui ii genereaza un castig in capital de 7,36%.

D. O ilustrare a riscului in venit.

Presupunem ca o intreprindere a luat decizia de a emite un imprumut obligator cu rata fixa intr-o luna cu urmatoarele caracteristici: Fiecare obligatiune cu o valoare nominala de 1000 va fi rambursata an pair, in fine, in 10 ani. Rata faciala este fixata la 5%. Pretul de emisiune va fi fixat in functie de conditiile pietei. Determinam pretul de emisiune al obligatiunii, E, o luna mai tarziu:

daca rata de piata este de 5%;

daca rata de piata este de 4%;

daca rata de piata se ridica la 6%.

Evident, E , este egal cu valoarea nominala de 1000 in primul caz. In celelalte doua cazuri, calculele sunt identice ca la paragraful precedent (C). Pentru a oferi un randament de 4% societatea trebuie sa emita obligatiunea la un pret de 1081,11 in timp ce pentru a oferi un randament de 6%, ea este constransa sa reduca pretul sau de emisiune la 926,40.

Pentru investitorul care doreste sa achizitioneze obligatiunea, scaderea ratei de la la 5% la 4% angajeaza o pierdere in venit deoarece trebuie sa plateasca obligatiunea mai scump pentru a obtine acelasi cupon anual, in timp ce cresterea ratei la 6% permite cumpararea obligatiunii cu 7,36% mai putin scump, ceea se traduce pentru el printr-un castig in venit.

Din punctul de vedere al emitentului, scaderea ratei ii permite a ridica mai multe capitaluri, platind aceeasi valoare de dobanzi anuale, ceea ce diminueaza costul datoriei contractate. Dimpotriva, cresterea ratelor consolideaza costul indatorarii.

E. Consecintele variatiilor ratelor de dobanda asupra valorii

intreprinderii.

Tabloul 1 prezinta impactul unei fluctuatii a ratei asupra valorii intreprinderii in functie de activele si de pasivele din patrimoniu si deciziile de plasament si de indatorare viitoare. Efectele asupra activelor si asupra pasivelor fiind opuse, impactul net asupra valorii capitalurilor proprii ale intreprinderii depinde de diferentialul de sensibilitate ale ratelor de dobanda ale acestor diferite elemente.

Tabloul 1. Consecintele variatiilor ratei asupra valorii intreprinderii.

	Active cu rata fixa		Active cu rata variabila	Pasive cu rata fixa		Pasive cu   rata variabila
	Detinute	Prevazute	Detinute sau Prevazute	Detinute	Prevazute	Detinute sau Prevazute
Cresterea ratelor	Pierdere in capital	Castig in venit Eseu: Academia de studii economice - caiet de practica Eseu: Corelatii intre dezvoltarea serviciilor si dezvoltarea economico-sociala	Castig in venit	Castig in capital	Pierdere in venit	Pierdere in venit
Scaderea ratelor	Castig in capital	Pierdere in venit	Pierdere in venit	Pierdere in capital	Castig in venit	Castig in venit

Pe de alta parte, asupra activelor cu rata fixa detinute, riscul nu se limiteaza numai la

riscul in capital. Daca riscul de plus sau pierdere de valoare este mai important, investitorul este, de asemenea, expus la riscul de reinvestire al dobanzilor primite, adica la riscul in venit. Daca ratele de dobanda se reduc, cupoanele nu pot fi reinvestite decat la o rata inferioara ratei cuponului activului. Aceste doua riscuri se compenseaza partial. Intr-adevar, daca rata de piata creste, valoarea activului scade, dar investitorul poate atunci reinvesti dobanzile primite la o rata mai ridicata.

3.2. Factorii de sensibilitate ai ratei dobanzii

3.2.1.Variatia ratei si valoarea unui activ cu rata fixa.

Consideram un activ cu rata fixa, care varsa un flux Ft, in fiecare an t pana la scadenta T.

Notam r rata de randament ceruta pe piata asupra acestui tip de titlu. Pretul de piata al acestui activ este o functie descrescatoare de rata de randament r:

.

O prima estimare a impactului unei variatii a ratei de piata asupra pretului activului consta in calcularea primei derivate a acestei functii de pret in raport cu rata r. Aceasta derivata sau delta activului, egala cu:

.

Semnifica ca, pentru o crestere infinitzecimala a lui r, notata dr, pretul activului va varia cu unitati monetare.

Calculul delta obligatiunii.

Fie o obligatiune cu o valoare nominala de 1000 USD, care varsa un cupon anual de 5% si rambursata an pair in 8 ani. Valoarea lui r pe piata este de 6%, iar pretul acestei obligatiuni se stabileste la:

Calculam delta acestei obligatiuni derivand cel de-al treilea membru al ecuatiei urmatoare:

,

.

Inlocuind r prin 6% in ecuatia de mai sus, =-5964,3 ceea ce cemnifica ca daca rata de piata trece de la 6% la 6,1%, pretul obligatiunii se va diminua cu5964,3x0,1%=5,96USD.

Cu toate acestea, delta nu permite a cumpara riscul de rata care afecteaza investitiile de diferite valori. Pentru aceasta, variatia de valoare indusa printr-o variatie de rata trebuie sa fie calculata in valoare relativa din pretul initial al activului.

3.2.2. Sensibilitatea.

Sensibilitatea unui titlu financiar cu rata fixa la rata de dobanda este variatia relativa a pretului acestui titlu pentru o variatie infinitzecimala a ratei dobanzii, adica .

Notam S sensibilitatea unui titlu care varsa o serie de fluxuri Ft, t=1, . ,T.

;

.

Sensibilitatea se interpreteaza in modul urmator: pentru o mica variatie a ratei de piata r, valoarea de piata a titlului variaza cu (Sxdrx100)%.

Calculul sensibilitatii unei obligatiuni.

Reluam obligatiunea de la un exemplu precedent. Pentru aceasta obligatiune, dupa calculele deja efectuate, sensibilitatea valoreaza

In practica, elaborarea tabloului 2 poate facilita calculul acestui rezultat.

Tabloul 2. Calculul sensibilitatii unui activ cu rata fixa.

Acest rezultat semnifica ca, daca r variaza de la 6% la 6,1% se poate ajunge la o variatie a pretului activului de -(635,89x0,1%)% = -0,6359%, respectiv o pierdere in USD de 5,96 USD asa cum evidentiaza exemplul precedent. Cu cat sensibilitatea unui activ sau a unui pasiv cu rata fixa este mai ridicata, cu atat riscul de castig sau de pierdere in capital legate de o fluctuatie a ratelor este mai ridicata.

3.2.3. Caracteristicile unui titlu cu rata fixa si sensibilitate:

o ilustrare numerica.

Consideram, urmatoarele trei obligatiuni:

- obligatiunea B1 in valoare nominala de 1000, rambursata an pair, in fine, in 10 ani, care varsa un cupon anual cu rata nominala de 10%;

- obligatiunea B2, cu aceeasi caracteristica , dar cu o maturitate de 5 ani;

- obligatiunea B3, identical in toate punctele cu B2, exceptie facand rata cuponului egala cu 5%;

- obligatiunea zero cupon B4, care varsa un flux unic de 1000 in 5 ani.

Presupunem ca rata de randament ceruta pe piata pentru fiecare din aceste obligatiuni sa fie de 10%. Pretul lor se stabileste respectiv la 1000 pentru B1, 1000 pentru B2, 810,46 pentru B3 si 1000/ pentru B4.Calculam impactul unei cresteri a ratei de piata de la 10% la 10,01% asupra pretului fiecareia din aceste obligatiuni, cu scopul de a pune in evidenta efectul diferitelor lor caracteristici asupra acestor variatii de pret.

A.    Maturitate si sensibilitate.

Pretul lui B1 scade la:

ceea ce corespunde unei pierderi de valoare relative de 0,0614%. Titlul B2, in schimb, nu pierde decat 0,0379% din valoarea sa deoarece noul sau pret se stabileste la:

Astfel, la caracteristici strict identice, obligatiunea mai lunga este mai riscanta. Sensibilitatea unui titlu cu rata a dobanzii creste o data cu maturitatea sa.

B.Fluxuri intermediare si sensibilitatea.

Examinam in prezent cazul obligatiunii B4. Pretul sau diminueaza mai puternic decat cel al lui B2. Intr-adevar, ca urmare a variatiei ratei considerate, el devine:

1000/(1+10,01%)=620,64; ceea ce este echivalent cu o pierdere de valoare de 0,0451%. Prin urmare, obligatiunea care nu varsa cupon intermediar este mai sensibila dacat obligatiunea cu cupoane. Acest exemplu permite a concluziona ca, daca sensibilitatea unui titlu creste o data cu maturitatea sa, ea nu creste numai cu durata de viata a ultimului flux ci, de asemenea, cu cea a tuturor fluxurilor varsate de titlu. La maturitate identica, durata de viata medie a fluxurilor unei obligatiuni cu cupoane este inferioara celei a unei obligatiuni zero-cupon; si riscul de rata in capital care afecteaza obligatiunea cu cupoane este inferior. Pentru acest motiv durata de viata medie a fluxurilor ar fi cel mai bun indicator al riscului de rata decat maturitatea.

C. Ponderea fluxurilor intermediare si sensibilitatea.

Ca urmare a cresterii ratei, pretul lui B3 devine:

,

ceea ce reprezinta o pierdere de valoare de 0,0408%. Aceasta depreciere este superioara celei suportate prin titlul B2 ale carei cupoane sunt mai ridicate, dar ea ramane inferioara celei a obligatiunii zero-cupon B4. Mai precis, compararea variatiilor de pret ale lui B2 si B3 demonstreaza ca la durata de viata identica a fluxurilor, titlul a carei pierdere relativa a fluxurilor pe termen scurt este mai importanta, mai putin riscant.

Astfel, daca durata de viata medie a fluxurilor unui activ ( sau a unui pasiv) cu rata fixa este un bun indicator al riscului de rata, acest indicator este cu atat mai eficace cu cat el este ponderat prin ponderea fuxurilor in valoarea acestui activ. Un astfel de indicator nu este altul decat duration( durata de imunizare) definita de Macanley(1938), apoi de Hicks(1939).

3.3. Duration.

Duration(durata de imunizare) este o masura a riscului de rata sau, mai exact, o masura a sensibilitatii unui titlu la miscarile ratelor, introdusa de Macanley(1938) ca durata medie, apoi de Hicks(1939) ca elasticitate.

3.3.1. Duration: definitie.

Duration al unui titlu financiar care genereaza fluxuri fixe este durata de viata medie a acestor fluxuri ponderate prin pnderea fiecarui flux cu pretul titlului.

Fie un titlu care varsa fluxuri Ft din anul t pana in anul T. Fie r rata de piata pentru acest titlu. Valoarea acestui titlu fiind egala cu suma fluxurilor Ft actualizata la rata r, ponderea fluxului Ft in aceasta valoare este:

si durata de viata medie a fluxurilor ponderate prin ponderea Wt, adica duration al titlului, notat cu D, este egal cu:

D=.

3.3.2. Duration si sensibilitate.

Interpretarea imediata a duration propusa de Hicks(1939), consta in a-l considera ca elasticitate a pretului activului in raport cu factorul de actualizare 1+r. Intra-adevar, D, corespunde variatiei infinitzecimala a factorului de actualizare exprimata in valoare relativa. O duration egala cu D indica faptul ca pretul activului vizat diminueaza cu D% atunci cand factorul de actualizare 1+r creste cu 1% in raport cu valoarea sa initiala.

Pentru a demonstra aceasta, sa reluam expresia ecuatiei sensibilitatii. Se poate vedea ca, al doilea membru contine in mod explicit expresia duration, ceea ce permite stabilirea relatiei urmataore dintre duration si sensibilitate: S= sau intr-un mod echivalent:

. Inlocuind in ultima relatie S prin expresia sa si stiind ca

se obtine ca duration este egala cu elasticitatea pretului P in raport cu 1+r:

.

Calculul duration si relatia duration/sensibilitate.

Reluam obligatiunea din exemplul precedent si calcualm duration cu ajutorul tabloului 3.

Tabloul 3. Calculul duration al obligatiunii.

Duration fiind o durata de viata medie, ea se exprima in numar de ani. Dupa valoarea obtinuta, daca factorul de actualizare creste cu 1%, trebuie sa ne asteptam la o scadere a valorii obligatiunii cu 6,74%. Divizand duration prin - (1+6%) se regaseste sensibilitatea calculata la exemplul precedent: .

3.4. O masura a riscului de rata complementara: convexitatea.

In calitate de elasticitate, o duration de valoare D indica ca o variatie infinitzecimala a factorului de actualizare de y% din valoarea sa initiala angajeaza o variatie yD% din valoarea activului considerat.

3.4.1. Duration si mici variatii ale ratei.

Obligatiunea definita precedent are o duration de 6,74 ani. Reamintim ca pretul sau initial, pentru o rata de piata de 6% este de 937,90 USD. Presupunem ca rata de piata r trece de la 6% la 6,01%. Aceasta semnifica ca factorul de actualizare 1+6% suporta o crestere de 0,0094%. Aceasta crestere de rata, dupa valoarea duration ar trebui sa angajeze o depreciere a obligatiunii de 0,00945x6,74=0,06%. Intr-adevar, noul pret al obligatiunii se stabileste la:

, ceea ce corespunde unei scaderi a valorii de 0,06%. Consideram cazul simetric al unei scaderi a factorului de actualizare. Pretul obligatiunii devine atunci:

, care a crescut, dupa cum s-a prevazut, cu 0,06%. Acest exemplu ilustreaza bine utilitatea duration ca masura a riscului de rata.

3.4.2. Duration si convexitatea functiei pret.

Presupunem in prezent ca rata de piata trece de la 6% la 7%. Factorul de actualizare creste cu 0,94% din valoarea sa initiala; pretul obligatiunii, dupa valoarea duration, ar trebui sa scada cu 0,94%x6,74=6,36%. In realitate, pretul nu sacde decat cu cu 6,11% trecand de la 937,90 la 880,57. Simetric, pentru o diminuare a ratei de amploare identica, obligatiunea ar trebui sa se aprecieze cu 6,36%. Sau, cu o rata de piata de 5%, obligatiunea este an pair si ia 6,62%. Aceste cifre releva anumite limite ale duration ca masura a riscului de rata.

Prima limita.

Duration este o indicatie a variatiei valorii potentiale a unui activ cu rata fixa pentru o variatie infinitzecimala a ratei de actualizare. Cu cat variatiile acestei rate sunt mai mari, cu atat mai mult, duration in calitate de masura a riscului pierde in exactitate.

A doua limita.

Contarr a ceea ce lasa sa inteleaga duration, variatiile de valoare la crestere sau la scadere nu sunt simetrice. In exemplul precedent efectul la scadere este mai important decat efectul la crestere a ratelor: duration a condus la supraestimarea aprecierii scaderii ratelor.

Aceste doua limite rezulta din convexitatea functiei pret P(r). Intr-adevar, a doua derivate a pretului unui activ cu rata fixa in raport cu rata de dobanda este strict pozitiva:

.

Prin urmare, pe de o parte schimbarile de pret sunt asimetrice: o diminuare de rata are un impact mai mare asupra pretului decat o crestere de aceeasi amploare. Pe de alta parte, a doua derivata a functiei pret fiind strict pozitiva, prima derivata nu este niciodata constanta si sensibiliatea, tot ca duration, se modifica cu r. Mai precis, duration descreste cu r. Duration nu ne da decat o aproximare a impactului unei variatii a ratei asupra pretului unui activ cu rata fixa. Pentru a ameliora precizia, se convine a se tine cont de efectul convexitatii functiei pret.

La acest efect, efectuam o dezvolatre in serie Taylor de ordina 2 a variatiei pretului P in functie de r: , unde

.

Divizam prin P pentru a obtine o variatie a pretului relativa si consideram termenul neglijabil in fata celor de ordin superior:

.

Primul termen al celui de-al doilea membru al ultimei ecuatii este o functie liniara a sensibilitatii sau a duration:

.

Ultima ecuatie confirma ca sensibilitatea sau duration nu furnizeaza decat o aproximare a variatiei relative de valoare in cazul unei fluctuatii importante a ratelor. Aceasta aproximare poate fi ameliorata tinand cont de termenul de ordinul 2, adica de convexitatea functiei pret.

3.4.3. Convexitatea: definitie.

Notiunea de convexitate a fost dezvoltata de Klotz(1985) cu scopul de a intelege viteza de variatie la expunerea la riscul de rata.

Convexitatea unui activ cu rata fixa, nota Cv, este a doua derivata a pretului acestui activ in functie de rata sa de randament actuarial in valoare relativa din pretul sau.

Ea este deci egala cu o variatie a indusa de o variatie infinitzecimala a ratei de randament, raportata la pretul initial: . Aceasta marime este strict pozitiva: ,indicand ca sensibilitatea la rata dobanzii descreste o data cu nivelul ratelor. Pretul unui titlu cu rata fixa se diminueaza o data cu rata de piata intr-un ritm descrescator. Cu cat convexitatea unui titlu este mai puternica, cu atat valoarea de piata a acestui titlu se diminueaza(creste) mai lent(repede) pentru o crestere(scadere) a ratei de randament ceruta pe piata. In concluzie, pentru doua titluri cu duration identica, cel mai putin riscant este cel a carui convexitate este cea mai ridicata.

3.4.4. Convexitate: calcul si utilizare.

Dezvoltand ultima ecuatie, calculul convexitatii se poate, de asemenea, scrie:

.

Dupa expresia ultimei relatii, stabilirea unui tablou (precum tabloul 4) este un mod simplu de a calcula convexitatea unui titlu cu rata fixa. Acest tablou reaminteste, de asemenea, calcule ale lui duration si ale sensibilitatii.

Marimile calculate in tabloul 4 permit estimarea impactului unei variatii a ratei potentiale r asupra valorii de piata P a activului.

Efectele sensibillitatii si ale convexitatii fiind de sens opus, in caz de crestere a ratelor, castigul rezultat din convexitaae compenseaza in parte, pierderea legata de sensibilitate.

Tabloul 4. Calculul convexitatii unui titlu care genereaza fluxuri fixe.

Exemplu: Duration, sensibilitatea si convexitatea obligatiunii.

Duration si sensibilitatea obligatiunii au fost deja calculate in exemplele precedente. Completam aceste calcule prin cel al convexitatii, construind un tablou similar cu tabloul 4.

Tabloul 5. Calculul convexitatii obligatiunii.

Aceste rezultate semnifica ca, daca r trece dela 6% la 7%, adica daca

, atunci obligatiunea pierde 6,36x1%-0,5x50,82x(1%)=6,11% din valoarea sa. Dimpotriva, daca r scade cu 5%, valoarea obligatiunii ar trebui sa creasca cu 6,36x1%+0,5x50,82x(1%)=6,61%. Compararea acestor aproximari cu variatiile de pret reale arata cum luarea in calcul a convexitatii a permis ameliorarea estimarii variatiilor de pret potentiale.

Tabloul 6. Variatiile de pret ale obligatiunii prevazute si reale.

Convexitatea se dovedeste deci un instrument complementar duration pentru o masura riscul de rata. La duration egala, un activ care are o convexitate superioara este mai putin riscant.