Home - qdidactic.com
Didactica si proiecte didacticeBani si dezvoltarea cariereiStiinta  si proiecte tehniceIstorie si biografiiSanatate si medicinaDezvoltare personala
referate didacticaScoala trebuie adaptata la copii ... nu copiii la scoala





Biologie Botanica Chimie Didactica Fizica Geografie
Gradinita Literatura Matematica


Matematica


Qdidactic » didactica & scoala » matematica
Derivate laterale, legatura intre derivata intr-un punct si derivatele laterale



Derivate laterale, legatura intre derivata intr-un punct si derivatele laterale


Derivate laterale


Intoducere in studiul derivatelor , derivabilitatii , laterale :


- Fie o functie si un punct ;

- Daca sau atunci are sens sa studiem existenta derivatei, respectiv a derivabilitatii , laterale a functiei in




Definitia derivatei , derivabilitatii , la stanga :


- Se spune ca functia are derivata la stanga in daca limita :

exista in .

- In acest caz se noteaza limita prin : sau .

- Se spune ca functia este derivabila la stanga in daca limita :

= exista in ,

cu alte cuvinte limita exista si este finita .



Definitia derivatei , derivabilitatii , la dreapta :


- Se spune ca functia are derivata la dreapta in daca limita :

exista in .

- In acest caz se noteaza limita prin : sau .

- Se spune ca functia este derivabila la dreapta in daca limita :

= exista in ,

cu alte cuvinte limita exista si este finita .


Legatura intre derivata intr-un punct si derivatele laterale



Fie functia si , un interval sau reuniune de intervale , unde nu este extremitate de interval .

Se poate da o caracterizare a faptului ca are derivata ( este derivabila ) in cu ajutorul derivatelor laterale in , mai precis are loc urmatoarea teorema :


Teorema :


1). Functia are derivata in are derivate laterale in si :


.

2). Functia este derivabila in este derivabila bilateral in si :

.

Exercitii


Exercitiul nr. 1 :

Sa se studieze derivabilitatea functiilor in punctele indicate :

a). ;

b). ;

c). ;

d). ;

e). ;

f). ;

g). ;

h). ;

i). ;

j). ;

k). ;

l). ;

m). ;

n). ;

o). .


Exercitiul nr. 2 :

Sa se stabileasca daca functiile urmatoare au derivate la stanga si la dreapta in punctele indicate :

a). , , ;

b). , ;

c). , ;

d). , ;

e). , ;

f). , ;

g). , .


Exercitiul nr. 3 :

Sa se studieze derivabilitatea functiilor de mai jos ( ) , in punctele indicate :

a). ;

b). ;

c). ;

d). ;

e). ;

f). ;

g). ;

h). .


Exercitiul nr. 4 :

Fie functia definita prin oricare ar fi .

a). Sa se arate ca functia are derivata in punctul .

b). Sa se calculeze .

c). Este functia derivabila in punctul ?



Exercitiul nr. 5 :

Fie functia definita prin oricare ar fi .

a). Sa se arate ca functia are derivata in punctul .

b). Sa se calculeze .

c). Este functia derivabila in punctul ?



Exercitiul nr. 6 :

Utilizand definitia , sa se arate ca urmatoarele functii sunt derivabile in punctele

specificate . Sa se calculeze derivata in fiecare caz in parte :

a). , oricare ar fi , ;

b). , oricare ar fi , ;

c). , oricare ar fi , ;

d). , oricare ar fi ,

e). , oricare ar fi , ;

f). , ,

g). , , .



Exercitiul nr. 7 :

Fie functia definita prin oricare ar fi .

a). Sa se arate ca functia are derivate laterale in punctul ;

b). Sa se calculeze si ;

c). Este functia derivabila la stanga , la dreapta , in punctul ? ;

d). Are functia derivata in punctul ? ;

e). Este functia derivabila in punctul ? .


Exercitiul nr. 8 :

Fie functia definita prin .

a). Sa se arate ca functia are derivate laterale in punctul ;

b). Sa se calculeze si ;

c). Este functia derivabila la stanga si la dreapta in punctul ? ;

d). Are functia derivata in punctul ? ;

e). Este functia derivabila in punctul ? .



Exercitiul nr. 9 :

Fie functia definita prin .

a). Sa se arate ca functia are derivate laterale in punctul ;

b). Sa se calculeze si ;

c). Este functia derivabila la stanga si la dreapta in punctul ? ;

d). Are functia derivata in punctul ? ;

e). Este functia derivabila in punctul ? .




Contact |- ia legatura cu noi -| contact
Adauga document |- pune-ti documente online -| adauga-document
Termeni & conditii de utilizare |- politica de cookies si de confidentialitate -| termeni
Copyright © |- 2024 - Toate drepturile rezervate -| copyright