Sisteme numerice 1d si 2d - lucrarea de laborator

sisteme numerice 1D Si 2D - lucrarea de laborator

Obiectivele lucrarii

1) Asimilarea functiilor MATLAB specifice lucrului cu sisteme discrete 1D si 2D;

2 Studiul proprietatilor de liniaritate, invarianta in timp si stabilitate, in cazul sistemelor numerice

3) Deprinderea tehnicilor de determinare a functiei pondere, functiei indiciale, precum si raspunsului sistemelor numerice la diverse secvente discrete;

4) Studiul interactiv al proprietatilor secventelor discrete si al operatorilor aplicati acestora utilizand mediul DIDACTICIEL.

Desfasurarea lucrarii

Sisteme numerice liniare 1D

Sa se verifice ca sistemul numeric reprezentat prin functia de transfer:

este un sistem liniar si invariant in timp.

1)

clear; n = 0:40; a = 2; b = -3;

x1 = cos(2*pi*0.1*n); x2 = cos(2*pi*0.4*n);

x = a*x1 + b*x2;

num = [2.2403 2.4908 2.2403]; den = [1 -0.4 0.75]; ic = [0 0];

y1 = filter(num, den, x1, ic); y2 = filter(num, den, x2, ic);

y = filter(num, den, x, ic); yt = a*y1 + b*y2; d = y - yt;

figure

subplot(3, 1, 1); stem(n, y); ylabel('Amplitudine');

title('Iesirea pt intrarea ponderata: a cdot x_[n] + b cdot x_[n]');

subplot(3, 1, 2); stem(n, yt); ylabel('Amplitudine');

title('Iesire: a cdot y_[n] + b cdot y_[n]');

subplot(3, 1, 3); stem(n, d);

xlabel('Index temporal n'); ylabel('Amplitudine');

title(' Semnal diferenta');

2)

clear; n = 0:40; D = 10; a = 3.0; b = -2;

x = a*cos(2*pi*0.1*n) + b*cos(2*pi*0.4*n); xd = [zeros(1, D) x];

num = [2.2403 2.4908 2.2403]; den = [1 -0.4 0.75]; ic = [0 0];

y = filter(num, den, x, ic); yd = filter(num, den, xd, ic);

d = y - yd(1+D:41+D);

figure

subplot(3, 1, 1); stem(n, y); ylabel('Amplitudine');

title('Iesire y[n]'); grid;

subplot(3, 1, 2); stem(n, yd(1:41)); ylabel('Amplitudine'); grid;

title(['Iesire pt intrarea decalata x[n -', num2str(D), ']']);

subplot(3, 1, 3); stem(n, d);

xlabel('Index temporal n'); ylabel('Amplitudine');

title(' Semnal diferenta'); grid;

Functia de transfer, polii si zerourile unui sistem numeric

Fie un caracterizat in domeniul timp discret de ecuatia:

Sa se determine functia de transfer, polii si zerourile acestui sistem.

Functia de transfer corespunzatoare este data de:

clear; b=[0.334, 0.334]; a=[1.0, -0.334];

figure(1) ; zplane(b, a) ;

figure(2) ; freqz(b, a)

Functia pondere a unui sistem numeric

1) Sa se determine functia pondere pentru un definit prin functia de transfer:

Referat: Contabilitatea tertilor Referat: Structurarea elementelor de activ si pasiv dupa criterii financiare

2) Sa se compare functiile pondere pentru doua FTB de tip Butterworth si Cauer de ordinul 5, avand frecventa de taiere normata de 0.5.

1)

clear; N = 40;

num=[2.2403 2.4908 2.2403];

den= [1 -0.4 0.75];

y = impz(num, den, N); figure

stem(y); xlabel('Index temporal n');

ylabel('Amplitudine'); title('Functia pondere'); grid;

2)

clear; [b, a]=butter(5, 0.5); h=impz(b, a, 50);

figure; subplot(211); stem(h); title('butterworth ')

[b, a]=ellip(5, 1, 20, 0.5); h=impz(b, a, 50);

subplot(212); stem(h); title('cauer ')

Stabilitatea sistemelor numerice

Sa se arate ca sistemul numeric caracterizat prin functia de transfer:

este stabil.

clear; num = [1 -0.8]; den = [1 1.5 0.9];

N = 200; h = impz(num, den, N+1); parsum = 0;

for k = 1:N+1;

parsum = parsum + abs(h(k));

if abs(h(k)) < 10^(-6),

break,

end

end

figure

n = 0:N; stem(n, h)

xlabel('Index temporal n'); ylabel('Amplitudine');

figure

zplane(num, den); disp('Sum ='); disp(abs(h(k)));

Conectarea in cascada a sistemelor numerice

Fie doua sisteme numerice definite prin functiile de transfer urmatoare:

Aratati ca functia de transfer a sistemului numeric obtinut prin conectarea in cascada a celor doua sisteme este egala cu produsul functiilor de transfer ale acestora.

clear; x = [1 zeros(1, 40)]; n = 0:40;

den = [1 1.6 2.28 1.325 0.68]; num = [0.06 -0.19 0.27 -0.26 0.12];

y = filter(num, den, x);

num1 = [0.3 -0.2 0.4]; den1 = [1 0.9 0.8];

num2 = [0.2 -0.5 0.3]; den2 = [1 0.7 0.85];

y1=filter(num1, den1, x); y2=filter(num2, den2, y1); d=y-y2;

figure; subplot(3, 1, 1); stem(n, y); ylabel('Amplitudine');

title('Iesirea sistemului rezultat'); grid;

subplot(3, 1, 2); stem(n, y2); ylabel('Amplitudine');

title('Iesirea celor doua sisteme conectate in cascada'); grid;

subplot(3, 1, 3); stem(n, d)

xlabel('Index temporal n'); ylabel('Amplitudine');

title(' Semnal diferenta'); grid;

Functia indiciala a unui sistem numeric

Sa se compare functiile indiciale pentru doua FTB de tip Butterworth si Cauer de ordinul 5, avand frecventa de taiere normata de 0.5.

clear; [b, a]=butter(5, 0.5);

unit=[ones(50, 1)]; h=filter(b, a, unit);

subplot(211); stem(h); title('butterworth')

[b, a]=ellip(5, 1, 20, 0.5); h=filter(b, a, unit);

subplot(212); stem(h); title('cauer')

Efectul zerourilor si polilor asupra functiei de transfer a unui sistem numeric

1) Fie sistemul reprezentat prin functia de transfer prezentand un singur zerou la . Sa se studieze variatia lui la apropierea zeroului de cercul unitate.

2) Procedati in acelasi mod pentru sistemul reprezentat prin functia de transfer , care are un singur pol la .

b(1, 1:2)=[1 -0.4]; b(2, 1:2)=[1 -0.6];

b(3, 1:2)=[1 -0.8]; b(4, 1:2)=[1 -1];

figure; hold on; tipcul=['b'; 'r'; 'g'; 'k'];

for k=1:4

h=freqz(b(k, :), 1); plot(abs(h), tipcul(k, :))

end

axis([0 512 0 2.2]); grid on

legend('zerou=.4', 'zerou=.6', 'zerou=.8', 'zerou=1', 2)

title('Influenta zerourilor asupra functiei de transfer')

a(1, 1:2)=[1 -0.5]; a(2, 1:2)=[1 -0.6];

a(3, 1:2)=[1 -0.7]; a(4, 1:2)=[1 -0.8];

figure; hold on

for k=1:4

h=freqz(1, a(k, :)); plot(abs(h), tipcul(k, :))

end

axis([0 512 0 5.5]); grid on

legend('pol=.5', 'pol=.6', 'pol=.7', 'pol=.8')

title('Influenta polilor asupra functiei de transfer')

Sisteme numerice liniare 2D

Functia de transfer a unui   de tip nerecursiv este de forma:

Sa se determine functia pondere, functia indiciala si raspunsul la o exponentiala complexa pentru un avand matricea coeficientilor:

clear; b=[1, 1; 1, 0];

dirac2D=zeros(50); dirac2D(1, 1)=1; h=conv2(b, dirac2D);

subplot(221); mesh(dirac2D); title('impuls Dirac 2D ');

subplot(223); mesh(h); title('functia pondere ')

subplot(222); unit2D=ones(50); mesh(unit2D);

title('functia treapta unitate 2D ');

subplot(224); g=conv2(b, unit2D); mesh(g);

title('functia indiciala ')

for n1=1:64

for n2=1:64

e(n1, n2)=exp(j*n1*2*pi/64)*exp(j*n2*2*pi/64);

end

end

y=conv2(b, e);

figure; subplot(211); mesh(real(e)); rotate3d

title('partea reala a unei exponentiale complexe 2D ')

subplot(212); mesh(real(y)); rotate3d

title('partea reala a raspunsului sistemului ')

Sisteme numerice neliniare 2D

Sa se filtreze imaginea eight.tif", afectata de un zgomot de tip sare si piper de dispersie 0.02, folosind filtre de ordine corespunzatoare statisticilor 1, 4, 5 si 9 si o fereastra de filtrare de 3 3.

Inlocuiti filtrul de ordine corespunzator statisticii 5 cu un filtru median. Ce observati

clear; I = imread('eight.tif');

J = imnoise(I, 'salt & pepper', 0.02);

K1 = ordfilt2(J, 5, ones(3, 3));

K2 = ordfilt2(J, 1, ones(3, 3));

K3 = ordfilt2(J, 9, ones(3, 3));

K4 = ordfilt2(J, 4, [0 1 0; 1 0 1; 0 1 0]);

figure

subplot(321); imshow(I); title('Imagine initiala')

subplot(322); imshow(J); title('Imagine perturbata')

subplot(323); imshow(K1);

title('Filtrare de ordine (statistica 5 - median)')

subplot(324); imshow(K2);

title('Filtrare de ordine (statistica 1 - min)')

subplot(325); imshow(K3);

title('Filtrare de ordine (statistica 9 - max)')

subplot(326); imshow(K4);

title('Filtrare de ordine (statistica 4)')

K = medfilt2(J); figure

subplot(211); imshow(J); title('Imagine initiala')

subplot(212); imshow(K); title('Imagine filtrata')

Studiul sistemelor numerice utilizand mediul DIDACTICIEL

1) Se lanseaza DIDACTICIEL-ul prin introducerea comenzii:

didact

2) Se studiaza interactiv stabilitatea si influenta zerourilor si polilor asupra caracteristicii de transfer a unui SN cu ajutorul meniurilor definite in:

Filtering

Tema

Se dau functiile de transfer urmatoare, care corespund unor :

a) Utilizand functia zplane.m reprezentati in planul Z diagramele pol-zerourilor pentru functiile .

b) Utilizand functia freqz.m reprezentati caracteristicile de frecventa ale acestor functii de transfer. Precizati ce tip de sisteme reprezinta fiecare.

c) Determinati raspunsul sistemului la semnalul impuls unitate si treapta unitate.