Legea tare a numerelor mari

Definitia 1 Sirul de variabile aleatoare se supune legii tari a numerelor mari daca exista sirul de constante reale , astfel incat , unde fiind o functie reala de argumente reale, masurabila Borel si simetrica in raport cu argumentele.

Observatie Convergenta tare care apare in definitia 1 se poate exprima prin

,

adica prin convergenta aproape sigura.

Lema Daca sirul de numere reale converge la , atunci sirul converge la .

Demonstratie . Pentru exista astfel ca pentru .

Consideram , astfel incat

,

atunci pentru putem scrie succesiv

asadar

,

de unde rezulta afirmatia din lema.

Lema Daca sirul de numere reale este astfel incat seria este convergenta, atunci sirul converge la zero.

Demonstratie . Intruducem notatiile

Deoarece , rezulta ca

de unde

.

Sirul al sumelor partiale ale seriei convergente este convergent, iar pe baza lemei si sirul este convergent si are acelasi limita cu .

Asadar, folosind

,

ceea ce trebuie aratat.

Teorema 1(Kolmogorov) Daca sirul de variabile aleatoare independente cu dispersiile finite verifica conditia

atunci

,

adica sirul se supune legii tari a numerelor mari

Demonstratie. Fie si atunci si vom avea

.

Vom arata ca seria converge aproape sigur . Pentru aceasta se noteaza

.

Pentru ca seria sa convearga aproape sigur trebuie ca . Variabilele aleatoare fiind independente si , aplicand inegalitatea lui Kolmogorov rezulta

,

de unde se deduce

,

deci

.

Rezulta ca pentru orice ,deci .

Asadar seria converge aproape sigur, iar pa baza lemei rezulta ca

pe o multime de probabilitate unu.

Teorema Daca sirul de variabile aleatoare independente au dispersiile egal marginite adica atunci sirul se supune legii tari a numerelor mari

Demonstratie . Conditia din teorema 1.5 este verificata deoarece

,

deci pe baza teoremei 5 rezulta afirmatia teoremei 6.

Teorema 3. Daca sirul de variabile aleatoare independente au distributiile date prin

si , atunci

.

Demonstratie . Rezulta imediat din teorema 6 cu .

Observatie Teorema. 3 , care mai poarta numele teorema lui Bernoulli forma tare o mai intalnim si cu urmatorul enunt: Fie numarul aparitiilor evenimentului A in repetari independente ale unui experiment, care poate apare cu probabilitatea la fiecare repetare atunci

.

Teorema 4. (Kolmogorov) . Fie sirul de variabile aleatoare independente identic repartizate atunci conditia necesara si suficienta ca sirul sa se supuna legii tari a numerelor mari este ca sa existe .

Demonstratie. Pentru suficienta avem din existenta lui

, ca si

F fiind functia de repartitie pentru .

Se introduce sirul de variabile aleatoare definite prin

atunci

,

deci

.

Dar avem ca

,

asadar

Prima suma se majoreaza , iar a doua are valoarea unu, deci

,

adica seria este convergenta, prin urmare se supune legii tari a numerelor mari (teorema 3).

Sa aratam acum ca =0 pentru aceasta putem scrie succesiv

de unde se obtine ca pentru suficient de mare, deoarece moment absolut de ordinul intii exista,

,

adica cu care se incheie demonstratia suficientei.

Pentru necesitate avem ca

,

unde

,

deci

.

Evenimentele fiind independente rezulta ca conform lemei Borel-Cantelli

.

Asadar

deci rezulta existenta valorii medii .