Transformata Laplace

Transformata Laplace

Fie astfel incat are sens integrala improprie cu parametru

(1)

Definitie. Daca are sens egalitatea (1), F se numeste transformata Laplace a lui f si se noteaza si .

Functiile f pentru care exista transformata Laplace se numesc functii original (sau simplu, original), iar transformata Laplace F se mai numeste functia imagine (sau scurt imagine).

Definitie. Functia f(x): (sau C), I interval marginit sau nemarginit, este derivabila pe portiuni daca pentru orice interval compact exista o diviziune cu

astfel incat f(t) sa fie derivabila pe fiecare interval si sa existe limitele laterale

.

Definitie. Se numeste original o functie f(x), reala sau complexa, definita pe multimea numerelor reale si care satisface urmatoarele conditii:

1.     f(x) = 0 daca x < ),

2.     f(x) este derivabila pe portiuni,

3.     exista numerele M > 0, astfel incat

(2)

Numarul se numeste indicele de crestere al functiei f(x).

Multimea functiilor original se noteaza cu

Proprietatile transformatei Laplace:

1.Este liniara; pentru constantele si si originalele si

are loc egalitatea

2.Pentru orice a>0 si f(x) original are loc egalitatea

(3)

in care F(p) este imaginea functiei f(x).

Daca a > 0 si f(x) original atunci

(4)

3.Daca f(x) este original si o constanta atunci

(5)

4.Teorema de derivare a originalului. Daca functia original f(x) este

de "n" ori derivabila, cu derivatele continue atunci

(6)

5.Teorema derivarii imaginii. Daca sunt

functii original atunci derivand egalitatea

in raport cu "p", obtinem formulele

(7)

6.Teorema integrarii originalului. Daca f este original atunci

(8)

7.Teoremele de integrare a imaginii. Daca este original atunci

(9)

Consecinte ale proprietatilor transformatei Laplace.

1.     Daca si p >0 atunci

(10)

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

In particular, pentru obtinem

Pentru obtinem

(11)

2.     Utilizand teoreme integrarii imaginii rezulta

(12)

si pentru p = 0 obtinem

(13)

(14)

care pentru p = 0 devine

(15)

Pentru n = 0, egalitatea (15) devine

(16)

Aplicatii.

1.Sa se arate ca

Rezolvare Fie functia

careia sa-i calculam transformata Laplace.

Deci

si

Trecand la limita pentru obtinem

.

2.Integrati ecuatia diferentiala, liniara, cu coeficienti constanti si neomogena

cu conditiile initiale

Rezolvare. Teorema derivarii originalului conduce la

si

Se obtine ecuatia operationala

din care

Functia original corespunzatoare, solutie a ecuatiei, are forma

3. Integrati ecuatia diferentiala, liniara, cu coeficienti constanti si neomogena

si

Rezolvare. Ecuatia se mai poate scrie

Ecuatia operationala are forma , din care

Utilizand teorema derivarii imaginii se obtine

iar

1. Proprietatile de omotetie

(1) si (2) pot fi exprimate mai simplu astfel

Demonstratie:

2. Prima teorema de translatie foloseste functia unitate a lui Heaviside H(x)=0 pentru x < 0 si H(x) = 1 pentru

2.1. Prima teorema de translatie

(1)

Intr-adevar,

Daca relatia (3) se foloseste de la dreapta la stanga, trebuie tinut cont ca originalul H(x-a)=0 pentru x < a si atunci, fara a mai utiliza functia unitate avem:

2.2. A doua teorema de translatie

(2)

Intr-adevar,

3. Teorema de deplasare

(3)

Din proprietatea a doua de omotetie si din teorema de deplasare, deci din (2) si (5), obtinem

(4)

4. Teorema de derivare a originalului

(5)

valabila daca si are sens

Demonstratie

Deci f(x)=p F(p)-f(0+) si pentru n=1, (7) se verifica. Pentru n = 2 avem:

(tinand cont de rezultatul pentru n = 1 obtinem) = Pentru n>2 iteram acest procedeu.

Operatia de derivare in spatiul functiilor original se transforma in operatia de inmultire cu p in spatiul functiilor imagine, abstractie facandu-se de un polinom in p.

5. Teorema derivarii imaginii

In ipoteza ca sunt functii original se poate argumenta posibilitatea derivarii sub integrala in raport cu p in relatia de definitie

Obtinem formulele

) (8)

Deci si acestei operatii de derivare ii corespunde operatia de inmultire cu "x".

6. Teorema integrarii originalului

(9)

Demonstratie Fie . Cum si g(0+) = 0 (din modul de definire a lui g).

Deci de unde (9) are loc.

7. Teorema de integrare a imaginii este data prin relatia

(10)

valabila cand este functie original.

Demonstratie

Din faptul ca

si din teorema de deplasare: obtinem ca

Se poate arata cu ajutorul teoremei de convolutie ca

(11)

Cu ajutorul teoremei de integrare a imaginii

putem calcula integrale de forma

cu formula

Intr-adevar,

se mai scrie

Facand p = 0 obtinem relatia cautata.

a) atunci cu d avem

b) pentru a > 0, b > 0

Intr-adevar, avem

c) Integralele lui Froullani

1.

2.

3.

Cu teorema de deplasare si faptul ca

obtinem ca: