Transformata Z

Transformata Z

Pentru analiza si proiectarea sistemelor de reglare discrete se utilizeaza transformata Z. Ea are un rol similar celui al transformatei Laplace pentru sistemele continue.

Fie f(t) o functie de timp ce este esantionata cu un esantionator ideal. Fie T perioada de esantionare. Iesirea esantionatorului ideal, f*(t), este un tren de impulsuri cu amplitudinea egala cu cea a semnalului de intrare la momentele de esantionare. Transformata Laplace a functiei f*(t) este

Functia F*(s) nu este rationala din cauza factorului  si este dificil de a calcula transformata Laplace inversa. Functia F*(s) se poate transforma intr-o functie rationala cu transformarea

Din aceasta relatie deducem

Reamintim ca T este perioada de esantionare, iar z este o variabila complexa pentru care

cu

Transformata Z a functiei f(t), notata F(z) se defineste ca

O metoda de calcul a transformatei Z este aceea de a face substitutia  in expresia functiei F*(s).

O alta metoda este urmatoarea. Fie

Presupunem pentru simplitate ca polii functiei sunt simpli. Fie

unde  este un pol al functiei , n = 1, 2, ., k. Am aratat ca

Atunci transformata Z are expresia

Deoarece transformata Z a functiei f(t) se obtine din transformata Laplace a functiei f*(t), vom considera ca orice functie care are o transformata Laplace are si transformata Z.

Exemplu. Fie functia treapta unitara f(t) = 1(t) esantionata la intervale egale cu T. Dupa cum am aratat, transformata Laplace a functiei esantionate f*(t) este

si este convergenta pentru . Suma acestei serii este

Cu substitutia  obtinem

pentru  sau |z| > 1. Acelasi rezultat se obtine cu a doua metoda. Deoarece transformata Laplace a functiei 1(t) este 1/s, ea are un pol simplu la s = 0. Avem N(s) = 1, D(s) = s si D'(s) = 1. Transformata Z a functiei va fi

Exemplu. Fie functia  unde a este o constanta reala. Transformata Z a acestei functii este

Aceasta serie este convergenta pentru

de unde obtinem

Cu a doua metoda se procedeaza astfel. Transformata Laplace a functiei f(t) este

care are un pol simplu la s = -a. Avem N(s) = 1, D(s) = s + a si D'(s) = 1. Transformata Z functiei va fi

Exemplu. Sa se determine transformata Z a functiei f(t) = sin (ωt). Avem

Vom rescrie formula de mai sus ca

Exemplu. Fie functia rampa

Transformata Z a acestei functii este

Multiplicam expresia de mai sus cu z^-1 si avem

Scadem cele doua expresii si obtinem

Expresia functiei F(z) este