Elemente de algebra - spatiu vectorial

ELEMENTE DE ALGEBRA

1.1. SPATIU VECTORIAL. SUBSPATIU

Definitie

Fie K o multime nevida. Definim pe K doua operatii: '+' si ' ·'

Tripletul (K, +, ·) se numeste corp comuntativ (camp) daca:

a)      (K, +) este grup abelian;

b)      (K , ·) este grup abelian;

c)      ' · ' este distribitiva fata de '+'.

Exemple

(R, +, ·); (C, +,

Definitie

Fie V o multime nevida si (K, +, ·) un corp comutativ. Definim doua operatii:

O operatie interna, numita adunare:

V x V → V

si o operatie externa, numita inmultire cu scalari:

K x V → V

V inzestrata cu cele doua operatii se numeste spatiu vectorial peste corpul K daca sunt indeplinite urmatoarele:

;

;

;

;

;

;

.

Observatie

Elementele unui spatiu vectorial se numesc vectori, iar elementele corpului K se numesc scalari.

Exemplul 1

Fie . Definim urmatoarele operatii:

• Adunare:

R³ x R³ → R³

(x₁, x₂, x₃) + (y₁, y₂, y₃) = (x₁+ y₁, x₂+ y₂, x₃+ y₃)

• Inmultire cu scalari:

· : R x R³ → R³

α·(x₁, x₂, x₃) = (α·x₁, α·x₂, α·x₃)

(R³,+, ·) formeaza o structura de spatiu vectorial.

Exemplul 2

Multimea matricilor formeaza impreuna cu operatiile de adunare matricilor si de inmultire cu scalari, o structura algebrica de spatiu vectorial.

Exemplul 3

Pe (0,+∞) definim operatia:

Analiza: Materiale si aliaje cu inalta conductibilitate pentru contacte Proiect: Proiectarea optimala a compozitiei chimice pentru materiale oxidice

si operatia externa:

Atunci formeaza o structura de spatiu vectorial peste R.

Definitie

Fie V spatiu vectorial peste corpul K si V' o multime nevida inclusa in V.

V' se numeste subspatiu liniar (vectorial) al lui V daca V' este spatiu vectorial fata de adunarea si inmultirea cu scalari induse in VC' de operatiile respective din V.

Teorema

Fie V spatiu vectorial peste corpul K si V' o multime nevida inclusa in V.

V' este subspatiu liniar al lui V daca si numai daca:

;

.

1.2. LINIAR DEPENDENTA SI INDEPENDENTA

Definitie

Fie V spatiu vectorial peste corpul K si A o multime nevida inclusa in V.

Se numeste combinatie liniara de elemente din A o expresie de forma:

unde .

Definitie

Fie V spatiu vectorial peste corpul K si A o multime nevida inclusa in V.

.

Multimea A se numeste liniar independenta daca

.

Definitie

Fie V spatiu vectorial peste corpul K si A o multime nevida inclusa in V.

.

Multimea A se numeste liniar dependenta daca nu este liniar independenta, adica .

Proprietati

1. Vectorul nul este liniar dependent.
2. Orice submultime a unei multimi liniar independente este liniar independenta.
3. O multime formata dintr-un singur vector este liniar independenta daca si numai daca vectorul este nul.
4. Daca multimea M contine o submultime liniar dependenta atunci ea este liniar dependenta.

1.3. BAZA SI DIMENSIUNE A SPATIULUI VECTORIAL

Definitie

Fie V spatiu vectorial peste corpul K.

O multime se numeste sistem de generatori pentru V, daca:

Definitie

Fie V spatiu vectorial peste corpul K.

O multime se numeste baza a spatiului V daca:

B este liniar independenta;

B este sistem de generatori pentru V.

Observatie

Pentru un spatiu vectorial exista o infinitate de baze, dar toate au acelasi numar de vectori.

Definitie

Numarul de vectori dintr-o baza a spatiului vectorial se numeste dimensiunea spatiului.

1.4. APLICATII REZOLVATE

Aplicatia 1

Sa se studieze care din urmatoarele multimi sunt subspatii vectoriale:

a)     

b)     

Rezolvare:

a)      este subspatiu liniar daca sunt verificate urmatoarele conditii:

;

Fie si

x+y= (x₁, x₂, x₃) + (y₁, y₂, y₃) = (x₁+ y₁, x₂+ y₂, x₃+ y₃).

Ramane de verificat:

(x₁+ y₁)+(x₂+ y₂) = (x₃+ y₃)

adica

(x₁+ x₂)+ (y₁+ y₂) = (x₃+ y₃) (A)

2. Fie α scalar si

α·x = α·(x₁, x₂, x₃) = (α·x₁, α·x₂, α·x₃)

Ramane de verificat:

α·x₁+α·x₂ = α·x₃

α·(x₁+x₂) = α·x₃ (A)

Din 1) si 2) rezulta ca V₁ este subspatiu vectorial.

b)      este subspatiu liniar daca sunt verificate urmatoarele conditii:

;

1. Fie si

x+y= (x₁, x₂) + (y₁, y₂) = (x₁+ y₁, x₂+ y₂).

Ramane de verificat:

(x₁+ y₁)² = x₂+ y₂

Rezulta:

Utilizand

(F)

Deci V₂ nu este subspatiu vectorial.

1.5. APLICATII PROPUSE

1. Sa se studieze care din urmatoarele multimi sunt subspatii vectoriale:

a)     

b)     

c)     

Sa se studieze liniar independenta urmatoarelor multimi de vectori:

a)              v₁= (1; 2; 1), v₂ = (2; 0; 1) si y₃ = (2; 4; 2).

b)                     v₁= (1; 2; -1) si v₂ = (3; 2; 1)

3. Fie multimea unde:

e₁= (1; 0; 0), e₂ = (0; 1; 0) si e₃ = (0; 0; 1)

a)      Sa se arate ca B este baza in spatiul vectorial R³ peste corpul R.

b)      Care este dimensiunea spatiului vectorial R³. Justificati raspunsul.