Epura si dubla proiectie

Epura si dubla proiectie

EPURA - este o forma de reprezentare plana a obiectelor din spatiu.

Pentru a o obtine:

a) rotim planul H in jurul axei OX cu 90' (in sensul indicat de sagetzi) (Fig. 1.4)
b) rotim planul L in jurul axei OZ cu 90' (-------/-----/------/-----) (Fig. 1.5)

Dupa ce am adus cele doua proiectii (H si L) in acelasi plan cu planul V, privim din fatza figura plana rezultata (Fig. 1.6)

In aceasta reprezentare, orice obiect din spatiu va avea 3 proiectii:

#proiectia pe planul V reprezinta vederea din fatza a obiectului
#proiectia pe planul L reprezinta vederea laterala sau vederea din stanga a obiectului
#iar proiectia pe planul H reprezinta vederea de sus a obiectului

!!! Daca renuntzam la vederea laterala obtinem dubla proiectie a obiectului din spatiu (Fig. 1.7)

Eseu: Raport de incercare Eseu: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare

2) Daca , atunci dreptele AB si AC se numesc drepte perpendiculare si se noteaza: .

3) Daca si determina dreptele perpendiculare AB si AC, atunci ele se numesc segmente perpendiculare si se noteaza .

Definitie: Se numesc unghiuri complementare doua unghiuri proprii care au suma masurilor de . Fiecare dintre cele doua unghiuri se numeste complementul celuilalt.

Daca , atunci si sunt complementare; este complementul unghiului , iar este complementul unghiului .

Teorema complementului: Daca doua unghiuri sunt congruente si complementele lor sunt congruente.

Teorema reciproca: Daca doua unghiuri au complemente congruente atunci ele sunt congruente.

Unghiuri opuse la varf; unghiuri in jurul unui punct

Sa consideram doua drepte concurente AB si CD, care se intersecteaza in punctul O.

Obtinem patru unghiuri proprii: ; ; si . Consideram perechile de unghiuri care nu sunt adiacente: si respectiv si . Aceste perechi de unghiuri sunt opuse la varf.

Definitie: Se numesc unghiuri opuse la varf doua unghiuri proprii in care laturile lor sunt perechi de semidrepte opuse.

Teorema unghiurilor opuse la varf: Unghiurile opuse la varf sunt congruente.

1) Daca doua unghiuri sunt congruente atunci ele sunt opuse la varf.

2) Daca sunt semidrepte opuse, C si D situate de o parte si de alta a dreptei AB iar , atunci si sunt opuse la varf.

Prima propozitie reciproca se observa ca nu este adevarata, dar a doua este adevarata, deci ea devine teorema reciproca.

Teorema reciproca a unghiurilor opuse la varf: Daca si sunt semidrepte opuse, C si D situate de o parte si de alta a dreptei AB iar , atunci si sunt opuse la varf.

Definitie: Se numesc unghiuri in jurul unui punct O un numar finit de unghiuri care au acelasi varf (varful O), iar orice punct al planului ce nu apartine nici uneia din laturile lor apartine interiorului unui singur unghi.

In figura de mai sus, unghiurile:, , , si sunt unghiuri in jurul punctului O.

Teorema unghiurilor in jurul unui punct. Suma masurilor unghiurilor in jurul unui punct este .

Doua drepte concurente care formeaza un unghi drept se numesc drepte perpendiculare. Semnul pentru perpendicularitate este "".

In figura de mai sus dreptele a si b sunt perpendiculare, caz in care scriem .

Triunghiuri

Triunghiul este figura geometrica formata din reuniunea celor trei segmente determinate de trei puncte necoliniare.

Triunghiul din figura de mai sus se noteaza .

Un triunghi are trei varfuri: A, B si C; trei unghiuri: si si trei laturi: , si.

Se numeste perimetrul unui triunghi suma lungimilor laturilor sale, adica .

In functie de lungimea laturilor avem:

triunghi isoscel, care are doua laturi congruente; cea de a treia latura se numeste baza;

este isoscel cu baza pentru ca .

triunghi echilateral, care are toate laturile congruente;

este echilateral pentru ca .

triunghi scalen sau oarecare, care nu are laturi congruente.

In functie de masura unghiurilor, avem:

triunghi ascutitunghic, care are toate unghiurile ascutite;

triunghi dreptunghic, care are un unghi drept si doua ascutite. Laturile care formeaza unghiul drept se numesc catete, iar cealalta latura se numeste ipotenuza.

In cazul triunghiului dreptunghic ABC de mai sus laturile si sunt catete, iar latura este ipotenuza.

triunghi obtuzunghic, care are un unghi obtuz  si doua unghiuri ascutite.

Patrulatere

Patrulaterul este linia franta inchisa formata din patru segmente, care nu au puncte interioare comune.

Patrulaterul are patru varfuri: M, N, P, Q; patru unghiuri: , , si si patru laturi: , ,