Unda de expansiune Prandtl-Meyer

Unda de expansiune Prandtl-Meyer

Curgerea supersonica in jurul unui cot deschis sau de-a lungul unui perete plan abrupt, se deosebeste prin aceea ca in zona curburii are loc destindere gazului si accelerarea curentului supersonic.

Zona de destindere reprezinta un evantai atasat la punctul de perturbatie care in dinamica gazelor se numeste unda centrata de expansiune (fig.4.10).

Fig. 4.10. Unda centrata de expansiune:

a - cot deschis; b - perete abrupt; c - portiunea de iesire a ajutajului Laval

Vom examina problema de curgere in jurul unui cot deshis. Problema in cauza a fost rezolvata in premiera de L.Prandtl si R. Meyer.

Se considera curgerea supersonica cu viteza υ₁ in jurul unui varf al unui perete cu unghiul deschis AOC (fig.4.11) cunoscut. In varful O se incepe modificarea curgerii.

Fig. 4.11. Generarea undei de expansiune la curgerea in jurul unui

perete cu unghiul deschis: b - unghiul de deviere a peretelui.

Sub influenta varfului, care este o perturbatie slaba, apare o unda slaba, numita unda Mach, care face cu peretele unghiul determinat prin relatia

unde a₁ este viteza sunetului locala in curentul incident.

Curgerea se face paralel cu peretele inclinat si va avea viteza υ₂ dupa a doua unda slaba Mach care face unghiul cu noua directie a curentului:

unde a₂ este viteza sunetului locala in avalul undei de expansiune BOD.

Expansiunea are loc in evantaiul BOD, fiind limitata de undele Mach OB si OD. Pe o raza vectoare r se considera un punct in care viteza are marimea υ si este deviata fata de directia initiala la unghiul β. Pe raza aceasta din evantai numita caracteristica parametrii gazodinamici (υ,P,ρ,T) nu se modifica.

Se considera cunoscuti parametrii υ₁,P₁, ρ₁ ai curentului initial si unghiul de deviere a peretelui β₂. Se cere determinarea parametrilor υ_2,P_2, ρ₂ dupa unda de expansiune si stabilirea legii de variatie a parametrilor gazodiamici in evantaiul de expansiune limitat de unghiul φ₂ - φ₁.

Pentru solutionarea problemei se aplica ecuatiile curgerii stationare plane a gazului perfect scrise in coordonate cilindrice x=r cosφ si y=r sinφ (fig.4.9). Din aceste ecuatii fac parte ecuatia de continuitate si ecuatia de vartej:

, (4.55)

unde υ_r este componenta radiala, iar υ_φ - componenta transversala a vitezei de curgere.

Dar cum in problema examinata curgerea este potentiala, componentele υ_r, υ_φ si parametrii P, ρ depind numai de unghiul φ, rezulta:

In continuare la sistemul se adauga ecuatia energiei (ecuatia Bernoulli) scrisa prin vitezele sunetului, avand in vedere ca viteza curgerii in evantaiul de expansiune υ² = υ_r²+ υ_φ² :

(4.57)

Eseu: Reguli privind depozitarea materialelor si substantelor combustibile Referat: Caiet de sarcini pentru demolare

Pentru inchiderea, sistemului se completeaza cu ecuatia procesului adiabatic:

Astfel,avem 4 ecuatii (4.55-4.58) pentru determinarea 4 necunoscutelor P, ρ, υ_r, υ_{φ .}

Relatiile (4.56 a) se transforma astfel :

,

Dar cum , unde , sau ,

rezulta

(4.59)

Separand variabilele, se poate scrie            

Prin integrarea acestei ecuatii, se obtine

_sau

,

unde este viteza maxima posibila la curgerea gazului in vid, iar C - constanta de integrare.

Asadar ,      

(4.60)

Pentru calculul marimilor υ_φ, υ si P aplicam consecutiv relatiile (4.56 b),(4.60) si functia π(λ):

_,

_,

, sau

(4.63)

Introducand in examinare unghiul Mach curent a , se pot scrie urmatoare relatii:

,

,

Inlocuind in ultima ecuatie υ_r si υ_φ din (4.60) si (4.61), rezulta:

de unde

(4.64)

Din geometria curgerii (fig. 4.11) se vede ca unghiul de deviere a vitezei υ fata de directia initiala este:

_,

de unde                        

Luand in consideratie ca , iar ,

se obtine (4.66)

Introducand in ultima ecuatie (4.66) unghiul φ din expresia (4.64) rezulta:

,    (4.67)

unde ω(M) este functia gazodinamica de expansiune, numita functia Prandl-Meyer.

Constanta C se determina din conditii initiale: M=M_1, φ=φ si β=0 . Rezulta , deci,

Ecuatia pentru unghiul curent de deviere a vitezei de curgere din evantaiul BOD,care,de fapt, reprezinta unda centrata de expansiune, se scrie sub forma

_,

unde ω(M), ω(M₁) este functia gazodinamica Prandl-Meyer corespunzatoare numarului Mach M , respectiv M₁

Relatia (4.68) fiind dependenta numai de numarul Mach permite, cunoscand unghiul β₂, calculul numarului Mach M₂ dupa unda de expansiune:

Frontiera unghiulara a undei de expansiune centrate poate fi determinata din relatia

(4.70)

Parametrii gazului dupa unda de expansiune se pot gasi usor, reiesind din valorile numarului Mach inainte (M₁) si dupa (M₂) undei de expansiune, cu ajutorul functiilor gazodinamici p(M), e(M) si t(M), eliminand parametrii gazului franat P₀ ,T₀ , ρ₀

De exemplu, pentru determinarea presiunii P₂ dupa unda de expansiune se pleaca de la raporturi:

si ,

care dau          

La fel se obtin relatii: si

Viteza de curgere dupa unda de expansiune se determina din formula