Oscilatii neliniare

Oscilatii neliniare

Oscilatiile armonice, liniare, descrise de ecuatiile (5), (24) si (37) reprezinta doar un posibil model, cu limite inerente de aplicabilitate (cazul miscarilor de amplitudine mica). Aceste ecuatii sunt, din punct de vedere matematic, ecuatii diferentiale de ordinul doi, liniare (functia x(t) precum si derivatele ei in raport cu timpul nu apar in ecuatie decat la puterea intai). Marele avantaj al acestui model este ca ecuatiile mentionate admit solutii analitice exacte, respectiv solutiile (15), (30) si (39).

Ori de cate ori functia x(t) precum si derivatele ei in raport cu timpul apar in ecuatia diferentiala a miscarii la o puterea diferita de unu sau ca argument al unei functii neliniare, ecuatia diferentiala devine neliniara si nu mai admite solutie analitica exacta.

In continuare, se va gasi ecuatia diferentiala a miscarii in cazul unui pendul simplu care oscileaza neliniar in jurul pozitiei sale de echilibru stabil. Pendulul simplu consta dintr-un corp punctiform de masa m, atarnat la capatul unui fir subtire sau al unei bare subtiri, a caror masa poate fi neglijata in raport cu cea a corpului si a caror  lungime nu se modifica in timpul oscilatiilor. Conform Principiului fundamental al dinamicii, . Asa cum se stie, forta care actioneaza asupra pendulului si tinde sa-l readuca in pozitia de echilibru stabil este o componenta a fortei de greutate a corpului de masa m si anume . In ce priveste acceleratia, aceasta este orirentata in sens invers sensului de variatie a unghiului q si se poate scrie in functie de acesta  dupa cum urmeaza:

(cu q exprimat in radiani),

iar acceleratia

Reluand acum Principiul fundamental al dinamicii, se poate scrie:

sau inca

(49)

Ecuatia de mai sus este o ecuatie diferentiala de ordinul doi, neliniara, omogena, cu coeficienti constanti. Pentru a gasi o solutie a acestei ecuatii se va descompune functia in serie Taylor si se va retine din aceasta dezvoltare atat termenul liniar cat si primul termen neliniar diferit de zero:

(50)

Sa se scrie dezvoltarile in serie Taylor, in jurul punctului q = 0, pentru functiile si . Sa se gaseasca termenul general al seriei. Sa se compare rezultatele obtinute.

Daca se noteaza , ecuatia (49) se poate aproxima cu urmatoarea ecuatie diferentiala neliniara:

(51)

Pentru aceasta ecuatie se va cauta o solutie aproximativa de forma:

(52)

unde e este un parametru adimensional, presupus mult mai mic decat unitatea, e 1, atunci cand amplitudinea miscarii este mult mai mica decat unitatea adica . Solutia (52) sugereaza ca miscarea oscilatorului in acest caz reprezinta suprapunerea a doua miscari oscilatorii, una de frecventa egala cu w si una de frecventa egala cu 3w . Termenul in sin3wt este sugerat de urmatoarea identitate trigonometrica:

(53)

Continuand rationamentul, este de asteptat ca termenul in sin3wt sa genereze termenul in sin9wt, s.a.m.d. Nu exista nici un motiv pentru care procesul sa se opreasca astfel incat solutia (52) este la randul ei o solutie aproximativa, o solutie care ia in consideratie numai primii doi termeni ai unei intregi serii de termeni armonici. Totusi, convergenta rapida a seriei este asigurata de prezenta parametrului e si de conditia impusa acestuia.

Pasul urmator il reprezinta determinarea marimilor e si w Pentru simplitate se va considera ca la momentul t=0, q=0. Daca relatia (52) este o solutie a ecuatiei (51) atunci ea trebuie sa verifice aceasta ecuatie. In acest sens se calculeaza mai intai

, (54)

unde s-au neglijat termenii in si . Se calculeaza apoi derivand de doua ori in raport cu timpul relatia (52) si se obtine:

(55)

Se introduc apoi expresiile pentru si q in relatia (51). Se foloseste identitatea trigonometrica (53) pentru inlocuirea termenului . In acest moment se grupeaza termenii pe langa si respectiv si se obtine urmatoarea egalitate:

(56)

La obtinerea acestei relatii s-a neglijat de asemenea termenul continand produsul al carui coeficient este de ordinul sau prin comparatie cu termenii care au fost luati in calcul.

Pentru ca egalitatea (56) sa fie indeplinita pentru orice valoare a lui t trebuie ca parantezele de pe langa si sa fie simultan nule. Pentru aceasta conduce la urmatoarea relatie:

sau, folosind dezvoltarea binomiala a radicalului

(57)

Relatia aceasta pune in evidenta dependenta frecventei oscilatorului considerat de amplitudinea oscilatiilor pe care acesta le efectueaza. Aceasta dependenta este specifica numai oscilatorilor neliniari. Se observa de asemenea ca pulsatia proprie a oscilatorului, , reprezinta limita la care tinde pulsatia w atunci cand oscilatiile sunt de foarte mica amplitudine, adica atunci cand . De altfel, acesta este chiar cazul oscilatiilor liniare. Pentru , adica ceva mai putin de , modificarea relativa a frecventei este

(58)

iar pentru , adica ceva mai putin de , modificarea relativa a frecventei este

(59)

Din anularea coeficientului termenului in se poate evalua ordinul de marime al parametrului adimensional e. Astfel, daca se considera ca , atunci rezulta ca

(60)

Cum e reprezinta contributia relativa a termenului din solutia (52) a ecuatiei de miscare, rezulta ca, pentru . Cu alte cuvinte, pentru amplitudini mici,  oscilatia dominanta este cea de frecventa , numita si frecventa fundamentala. Oscilatia cu frecventa , numita si armonica a treia, devine din ce in ce mai importanta pe masura ce amplitudinea oscilatiilor creste. Teoretic, in solutie apar un numar infinit de armonice, multiple de trei, dar amplitudinile lor sunt din ce in ce mai mici.

Prezenta in solutie a mai multor frecvente creaza posibilitatea aparitiei mai multor rezonante. Ele se numesc rezonante de ordin superior sau rezonante neliniare, induse de neliniaritatea sistemului. Principalele frecvente de oscilatie ale unui sistem neliniar trebuie cunoscute deoarece rezonantele de ordin superior pot deveni importante si pot cauza in ultima instanta distrugerea sistemului.