![]()
Fizica
Oscilatii neliniareOscilatii neliniare Oscilatiile armonice, liniare, descrise de ecuatiile (5), (24) si (37) reprezinta doar un posibil model, cu limite inerente de aplicabilitate (cazul miscarilor de amplitudine mica). Aceste ecuatii sunt, din punct de vedere matematic, ecuatii diferentiale de ordinul doi, liniare (functia x(t) precum si derivatele ei in raport cu timpul nu apar in ecuatie decat la puterea intai). Marele avantaj al acestui model este ca ecuatiile mentionate admit solutii analitice exacte, respectiv solutiile (15), (30) si (39). Ori de cate ori functia x(t) precum si derivatele ei in raport cu timpul apar in ecuatia diferentiala a miscarii la o puterea diferita de unu sau ca argument al unei functii neliniare, ecuatia diferentiala devine neliniara si nu mai admite solutie analitica exacta. In
continuare, se va gasi ecuatia diferentiala a miscarii
in cazul unui pendul simplu care oscileaza neliniar in jurul pozitiei
sale de echilibru stabil. Pendulul simplu consta dintr-un corp punctiform
de masa m, atarnat la capatul
unui fir subtire sau al unei bare subtiri, a caror masa
poate fi neglijata in raport cu cea a corpului si a caror lungime nu se modifica in timpul oscilatiilor.
Conform Principiului fundamental al dinamicii,
iar acceleratia Reluand acum Principiul fundamental al dinamicii, se poate scrie: sau inca Ecuatia de mai sus este o
ecuatie diferentiala de ordinul doi, neliniara, omogena,
cu coeficienti constanti. Pentru a gasi o solutie a acestei
ecuatii se va descompune functia Sa se scrie dezvoltarile in
serie Taylor, in jurul punctului q = 0, pentru functiile Daca se noteaza
Pentru aceasta ecuatie se va cauta o solutie aproximativa de forma: unde e este un parametru adimensional, presupus mult mai mic
decat unitatea, e 1, atunci cand
amplitudinea miscarii este mult mai mica decat unitatea adica
Continuand rationamentul, este de asteptat ca termenul in sin3wt sa genereze termenul in sin9wt, s.a.m.d. Nu exista nici un motiv pentru care procesul sa se opreasca astfel incat solutia (52) este la randul ei o solutie aproximativa, o solutie care ia in consideratie numai primii doi termeni ai unei intregi serii de termeni armonici. Totusi, convergenta rapida a seriei este asigurata de prezenta parametrului e si de conditia impusa acestuia. Pasul urmator il reprezinta
determinarea marimilor e si
w Pentru
simplitate se va considera ca la momentul t=0, q=0. Daca relatia (52) este o solutie a ecuatiei
(51) atunci ea trebuie sa verifice aceasta ecuatie. In acest
sens se calculeaza mai intai
unde s-au neglijat termenii in
Se
introduc apoi expresiile pentru
La obtinerea acestei relatii
s-a neglijat de asemenea termenul continand produsul Pentru ca egalitatea (56) sa fie indeplinita
pentru orice valoare a lui t trebuie
ca parantezele de pe langa sau, folosind dezvoltarea binomiala a radicalului Relatia aceasta pune in
evidenta dependenta frecventei oscilatorului considerat de
amplitudinea oscilatiilor pe care acesta le efectueaza. Aceasta
dependenta este specifica numai oscilatorilor neliniari. Se
observa de asemenea ca pulsatia proprie a oscilatorului, iar pentru Din anularea coeficientului
termenului in Cum e reprezinta contributia relativa a
termenului Prezenta in solutie a mai multor frecvente creaza posibilitatea aparitiei mai multor rezonante. Ele se numesc rezonante de ordin superior sau rezonante neliniare, induse de neliniaritatea sistemului. Principalele frecvente de oscilatie ale unui sistem neliniar trebuie cunoscute deoarece rezonantele de ordin superior pot deveni importante si pot cauza in ultima instanta distrugerea sistemului.
|