Intersectia multipla inainte

Intersectia multipla inainte

Consideram punctele vechi P₁, P₂, P₃, A, B, C, D si punctul nou “P₀”. Din punctele P₁, P₂, P₃ se fac observatii, conform schitei de observatii (fig.5.4), catre punctele vechi, cat si spre punctul nou.

Fig.5.4 Intersectia multiplǎ inainte

Pentru utilizarea teoriei masuratorilor indirecte la rezolvarea retelei geodezice se va porni de la principiul ca sistemul ecuatiilor de corectii este format dintr-un numar de ecuatii egal cu numarul marimilor masurate , respectiv 11 ecuatii.

Scrierea unui astfel de sistem este posibila odata cu stabilirea formei ecuatiei corespunzatoare unei directii masurate.In acest sens se vor aplica relatiile (5.19) si (5.21).

1.Scrierea sistemului ecuatiilor de corectii

Sistemul ecuatiilor de corectii, conform fig.5.4.este format din 11 ecuatii, compus din: 4 ecuatii corespunzatoare celor 4 directii masurate in punctul “P₁”, 4 ecuatii pentru cele 4 directii din punctul “P₂” si 3 ecuatii pentru directiile din punctul “P₃”.

Cu aceste precizari putem scrie:

- pentru punctul de statie “P₁”:

- pentru punctul de statie “P₂”:

                              

pentru punctul de statie “P₃”:

(5.22)

Se considera ca ecuatiile au ponderi egale si egale cu l, in ideea ca masurarea directiilor s-a facut cu aceeasi precizie.

2. Rezolvarea sistemului ecuatiilor de corectii

Analizand forma sistemului ecuatiilor de corectii (5.22) se observa ca acesta apartine categoriei de masuratori indirecte, adica numarul ecuatiilor este mai mare decat numarul necunoscutelor principale (Δx₀, Δy₀, Δz₁, Δz₂, Δz₃).

Notand coeficientii necunoscutelor cu a_i, b_i, , e_i si termenii liberi cu l_i (“i” luand valori de la 1 la 11) obtinem, conform teoriei masuratorilor indirecte § 4.3.2, forma literala a sistemului de ecuatii normale:

  (5.23)

Procedand la rezolvarea sistemului de ecuatii normale (5.23.) dupa stabilirea numerica a coeficientilor si termenilor liberi ai acestui sistem, obtinem valorile probabile ale corectiilor (Δx₀, Δy₀) si in acelasi timp valorile probabile ale corectiilor unghiurilor de orientare a statiilor (Δz₁, Δz₂, Δz₃).

Avand in vedere faptul ca, practic nu intereseaza corectiile Δz₁, Δz₂, Δz₃ sistemul de ecuatii (5.22) poate fi transformat intr-un sistem echivalent de ecuatii care sa contina numai corectiile Δx₀, Δy₀.

In acest scop se vor prezenta cateva metode de transformare a unui sistem de ecuatii de erori, corespunzator masuratorilor indirecte, intr-un sistem echivalent, care are aceleasi solutii cu sistemul initial.

3. Transformarea sistemelor de ecuatii in sisteme echivalente (Regulile lui Schreiber)

Doua sisteme de ecuatii ale corectiilor se numesc echivalente daca le corespund unul si acelasi sistem de ecuatii normale si prin urmare conduc la obtinerea acelorasi valori pentru necunoscutele care le contin.

Considerand o retea geodezicǎ formatǎ din “N” puncte noi si “S” statii, numǎrul total al necunoscutelor va fi de 2N+S, fiind format din corectiile Δx, Δy al punctelor noi si din corectiile Δz ale orientǎrilor punctelor de statie.

Pentru simplificarea demonstratiilor consideram un sistem format din “n” ecuatii si 3 necunoscute, grupate in jurul unui punct de statie,de forma (5.22).

Regula 1

Consideram urmatorul sistem de ecuatii al corectiilor:

a₁Δx + b₁Δy – Δz + l₁ = v₁ cu ponderea p₁

a₂Δx + b₂Δy – Δz + l₂ = v₂ cu ponderea p₂

a_nΔx + b_nΔy – Δz + l_n = v_n cu ponderea p_n (5.24.)

Sistemul (5.24) poate fi inlocuit printr-un sistem echivalent care are un numar de n+1 ecuatii, insa din care lipseste necunoscuta Δz:

a₁Δx + b₁Δy + l₁ = v₁ cu ponderea p₁

a₂Δx + b₂Δy + l₂ = v₂ cu ponderea p₂

..

a_nΔx + b_nΔy + l_n = v_n cu ponderea p_n

[pa]Δx + [pb]Δy + [pl] = [pv] p_n+1= (5.25)

Ultima ecuatie a sistemului, de mai sus, este denumita ecuatie suma.

Se demonstreaza echivalenta sistemelor de ecuatii (5.24) si (5.25), aratand ca ele au acelasi sistem de ecuatii normale.

Sistemul de ecuatii normale, corespunzator sistemului ecuatiilor de corectii (5.24), are forma:

(5.26)

Din ultima ecutie a sistemului (5.26) determinǎm necunoscuta Δz:

(5.27)

si o introducem in primele doua ecuatii ale sistemului (5.26):

(5.28)

Sistemul de ecuatii normale (5.28) este identic cu sistemul de ecuatii normale ce poate fi scris pentru sistemul (5.25).

Regula 2

Sistemul de ecuatii, cu aceiasi coeficienti ai necunoscutelor si cu termenii liberi diferiti:

Referat: Canada - suprafata, capitala, pozitia geografica si limite - industria Proiect: Ce se intelege prin „centru” si „periferie” din perspectiva geografiei economice a Europei?

cu ponderea p₁

cu ponderea p₂ (5.29)

cu ponderea p_n

este echivalent cu ecuatia:

cu ponderea [p] (5.30)

in care termenul liber este media ponderata a termenilor liberi

ai sistemului (5.29), iar ponderea este egala cu suma ponderilor

ecuatiilor de erori.

Aratam acest lucru scriind sistemul ecuatiilor normale ale sistemului (5.30), respectiv:

      (5.31)

Ecuatiei (5.30) ii corespunde acelasi sistem de ecuatii normale.

Regula 3

Ecuatia de erori:

cu ponderea p (5.32)

este echivalentǎ cu ecuatia:

cu ponderea 1 (5.33)

pentru ca, au acelasi sistem de ecuatii normale.

4 Rezolvarea simplificata a sistemului ecuatiilor de erori

Pentru prezentarea metodei, din sistemul (5.22) se vor lua ecuatiile de erori ce revin directiilor masurate in punctul de statie “P₁”:

p_1A=1

p₁₂=1

p₁₀=1 (5.34)

p_1D=1

Conform regulei l sistemul (5.34) devine:

cu ponderea 1 (5.35)

Termenii liberi din sistemul ecuatiilor de erori se calculeazǎ de asemenea, intr-un tabel a cǎrui formǎ se prezintǎ in cele ce urmeazǎ. Pentru punctul de statie „P₁” din fig.5.4 vom avea:

Tabelul 5.2

Observatie : In tabelul 5.2. se remarcǎ faptul cǎ suma termenilor liberi este egalǎ cu zero ([l] = 0) deoarece termenii liberi se calculeazǎ fatǎ de o medie aritmeticǎ.

Asadar se poate scrie:

cu ponderea 1 (5.36)

cu ponderea

n₁ – numarul directiilor masurate in “P₁”

Conform regulei 2 sistemul (5.36) poate fi scris:

; (5.37)

Conform regulei 3 ecuatia (5.37) devine:

                             (5.38)

In acelasi mod ecuatiile de erori pentru directiile din “P₂” si “P₃” sunt echivalente cu ecuatiile:

(5.40)

(5.41)

in care “n₂” si “n₃” reprezinta numarul directiilor masurate in punctele de statie “P₂” si “P₃”.

Asadar, sistemul initial al ecuatiilor de erori format din 11 ecuatii se transforma intr-un sistem echivalent format din 3 ecuatii si care contine numai doua necunoscute (Δx₀, Δy₀).

De aici si sistemul ecuatiilor normale este mai simplu de stabilit si evident mai simplu de rezolvat.

Necunoscutele Δz₁, Δz₂, Δz₃ pot fi eliminate fara a reduce numarul de ecuatii de erori.

Pentru aceasta sistemul (5.22) conform metodei 1 poate fi scris:

(5.42)

cu ponderea

Ultima ecuatie poate fi scrisa conform regulei 3 printr-o ecuatie echivalenta, dar de pondere egala cu unu si sistemul devine:

            

                              (5.43)

De mentionat cǎ in sistemul (5.43) ponderile ecuatiilor sunt egale cu 1. De asemenea, ecuatiile scrise intre punctele vechi nu mai au sens pentru cǎ, in urma eliminǎrii corectiei “Δz₁”, ecuatiile nu mai contin necunoscute si astfel sistemul devine:

                             

(5.44)

In mod similar se pot scrie sisteme de ecuatii pentru directiile din punctele “P₂” si “P₃”:

(5.45)

Ecuatiile (5.44) si (5.45) formeazǎ impreunǎ sistemul ecuatiilor de corectii aferent intersectiei multiple inainte.

Se remarcǎ faptul cǎ sistemul initial de 11 ecuatii cu 5 necunoscute s-a transformat, dupǎ aplicarea regulilor 1 si 3 a lui Schreiber intr-un sistem de 6 ecuatii cu 2 necunoscute.

Pentru a inlǎtura inconvenientul de a lucra cu coeficienti imaginari in ecuatiile sumǎ, acestea se pot considera ecuatii de pondere -1, astfel sistemul devine:

(5.46)

Rezolvarea acestui sistem se va face aplicand metodologia de rezolvare de la mǎsurǎtorile indirecte de precizii diferite.