Metode numerice pentru calculul inversei unei matrici

METODE NUMERICE PENTRU CALCULUL INVERSEI UNEI MATRICI

1. Metoda complementilor algebrici

Descrierea metodei:   Fiind data matricea inversabila A, notam cu matricea complementilor algebrici, cu elementele

,

unde matricea se obtine prin eliminarea liniei i si a coloanei j din matricea A.

Inversa matricei A se obtine cu formula

Exemplu. Fie matricea . Sa se determine inversa matricei prin metoda complementilor algebrici.

Program varianta I:

Calculul complementilor algebrici:

Afisarea matricei complementilor algebrici:

Calculul inversei matricei a:

Verificare:

Program varianta a II a:

Acesta varianta de program utilizeaza programarea structurata.

Functie pentru calcularea matricei complementilor algebrici:

Dupa eliminarea liniei i si a coloanei j din matricea a, se retin pe rand liniile si coloanele ramase in variabilele lin, respectiv col si sunt plasate in vectorul L. L = (lin col ) La finalul testarii, vectorul L contine 8 elemente. De exemplu, la eliminarea liniei i = 1 si a coloanei j = 1, vectorul L se prezinta astfel L 2 2 3 3 2 3 3). Se formeaza submatricea parta cu elementele din matricea a specificate prin indicii liniei si coloanei retinuti in vectorul L. Se calculeaza complementul algebric Bi,j.

Calculul inversei matricei a:

Aplicatie laborator

Se considera matricea

 

a. Intocmiti un program MathCAD pentru determinarea inversei utilizand metoda complementilor algebrici.

Listing program

b. Utilizand programarea structurata, realizati o aplicatie MathCAD pentru determinarea inversei cu metoda complementilor algebrici.

Listing program

2. Metoda pivotarii (Metoda matricei extinse)

Descrierea metodei:   Fiind data matricea inversabila , numim matricea extinsa o matrice de forma . Aplicand procedeul pivotarii, matricea ai este adusa prin echivalenta la forma , de unde .

Exemplu.         Fie matricea . Sa se determine inversa matricei prin metoda pivotarii (metoda matricei extinse).

Program varianta I:

Linia intai se imparte cu elementul ai_1,1

Obtinem 0 pe prima coloana, sub elementul 1

Linia doi se imparte cu elementul ai_2,2

Obtinem 0 pe coloana a doua, deasupra si sub elementul 1

Linia trei se imparte cu elementul ai_3,3

Obtinem 0 pe coloana a treia, deasupra elementului 1

Rezulta inversa:

Program varianta a II a:

Acesta varianta de program utilizeaza programarea structurata.

Lucrand pe fiecare linie k, aceasta functie modifica elementele matricei extinse ai, obtinand 1 pe diagonala principala, prin impartirea fiecarei linii la pivot. In primele trei coloane se obtin zerourile, pe pozitiile corespunzatoare.

Rezulta inversa:

Aplicatie laborator

Se considera matricea

a. Intocmiti un program MathCAD pentru determinarea inversei utilizand metoda matricei extinse.

Listing program

b. Utilizand programarea structurata, realizati o aplicatie MathCAD pentru determinarea inversei cu metoda matricei extinse.

Listing program