Problema - sa se demonstreze inegalitatea

Problema propusa

Sa se demonstreze inegalitatea :

<+++ . + .

SOLUTIE :

Consideram functia f : ( 0,+)R , f(x)= . Avem f'(x)=x si f''(x)=-x<0 , deci functia f este concava.

Aplicand Teorema lui Lagrange , functiei f pe un interval de forma

[k,k+1] , kN , obtinem ca () c(k,k+1) astfel incat f(k+1)-

f(k)=f'(c) . Dar f' este strict descrescatoare pe ( 0,+) , deoarece este

concava . Deci :

f'(k+1)<f(k+1)-f(k)<f'(k) (k+1)<-<k

<3(-)< .

Dam valori lui k de la 1 la 2007 , in relatia de mai sus , si apoi adunam

relatiile . Obtinem :

k=1:     <3(-1)<1

k=2:         <3(-)<

k=2007 :   <3(-)<

Prin adunare obtinem :

3(-1)<1++ . +

<+++ . + .