Reprezentarea polinoamelor. Interpolarea

Polinoame

MATLAB-ul furnizeaza functii pentru operatii polinomiale standard cum ar fi calculul radacinilor, evaluarea polinoamelor, derivarea etc. O parte din aceste operatii precum si modul de reprezentare a polinoamelor ca vectori au fost descrise in capitolul de Fundamente de programare.

Functiile polinomiale se afla in directorul polyfun:

q          Dupa cum s-a precizat deja, MATLAB-ul reprezinta polinoamele ca vectori linie care contin coeficientii polinoamelor in ordinea descrescatoare a puterilor.

q          Functiile uzuale care opereaza cu polinoame au fost prezentate (de exemplu roots). In continuare sunt parcurse alte cateva exemple utile.

v  Functia poly returneaza coeficientii unui polinom daca dispunem de radacinile acestuia (este o functie inversa fata de roots):

» p=[1 -1 2 4 1];

» r=roots(p)

r =

1.0529 + 1.7248i

1.0529 - 1.7248i

-0.7995

-0.3063

» coef=poly(r)

coef =

1.0000 -1.0000 2.0000 4.0000 1.0000

O alta utilizare a functiei poly este aceea de calculare a coeficientilor polinomului caracteristic al unei matrice:

» A
A =
-1 -3 1
2 -2 -1
0 1 -3
» poly(A)
ans =
1 6 18 23

Radacinile acestui polinom sunt chiar valorile proprii ale matricii A

Analiza: PROIECT DE LECTIE Matematica - clasa I - adunarea si scaderea numerelor naturale in concentrul 0 – 10 Referat: Simulare teza cu subiect unic la matematica

v  Functia polyval evalueaza un polinom pentru o valoare specificata a argumentului.

Functia polyvalm permite evaluarea unui polinom in sens matriceal. In acest caz polinomul p din exemplul anterior:  p(x) = x⁴ – x³ + 2x² + 4x + 1 devine p(X) = X⁴ – X³ + 2X² + 4X + I, unde X este o matrice patratica si I matricea unitate.

Exemplu:

» C=polyvalm(p,A)
C =
-75 -61 81
58 -130 75
52 -23 49

v  Functiile conv si deconv implementeaza operatiile de inmultire si impartire a polinoamelor.

Exemple:

Fie a(x) = x² + 2x +3 si b(x) = 4x² + 5x + 6.

» a = [1 2 3]; b = [4 5 6];
» c = conv(a,b)
c =
4 13 28 27 18

» [q,r] = deconv(c,a)
q =
4 5 6
r =
0 0 0 0 0

v  Functia polyder permite calculul derivatei unui polinom.

Exemplu:

» p=[1 -1 2 4 1];

» pderivat=polyder(p)

pderivat =

4 -3 4 4

v  Functia polyfit gaseste coeficientii unui polinom (o curba) care aproximeaza un set de date in sensul algoritmului celor mai mici patrate:

p = polyfit(x,y,n)

x si y sunt vectorii care contin setul de date iar n este ordinul polinomului ai carui coeficienti vor fi furnizati la apelarea functiei.

Exemplu:

» x = [1 2 3 4 5]; y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4];
» p = polyfit(x,y,3)
p =
-0.1917 31.5821 -60.3262 35.3400

Pentru plotarea rezultatului se utilizeaza mai intai functia polyval pentru o trasare cat mai exacta a graficului polinomului si apoi se ploteaza estimarea versus datele reale pentru comparatii.

» x2 = 1:.1:5;
» y2 = polyval(p,x2);
» plot(x,y,'o',x2,y2)

v  Functia residue se utilizeaza pentru descompunerea in fractii simple.

Se aplica in cazul raportului a doua polinoame b si a

unde r este un vector coloana, p tot un vector coloana care contine polii iar k un vector linie cu termenii directi.

Exemplu:

» b = [-4 8];
» a = [1 6 8];
» [r,p,k] = residue(b,a)
r =
-12
8
p =
-4
-2
k =
[]

Daca se folosesc trei argumente de intrare (r p, si k), functia residue asigura conversia inapoi in forma polinomiala:

» [b2,a2] = residue(r,p,k)
b2 =
-4 8
a2 =
1 6 8

Interpolarea

Interpolarea este un proces de estimare a valorilor dintre date (puncte) cunoscute. Aplicatiile interpolarii sunt numeroase in domenii cum ar fi procesarea numerica a semnalelor si imaginilor.

MATLAB-ul dispune de mai multe tehnici de interpolare, alegerea unei metode sau alteia facandu-se in functie de acuratetea necesara, de viteza de executie si de gradul de utilizare a memoriei.

Functiile de interpolare se afla in directorul polyfun

Compararea unor metode de interpolare bi-dimensionala

In continuare este preluat si prezentat (informativ) un exemplu de folosire a unor metode de interpolare bi-dimensionala pentru o matrice de date 7 x 7.

1. Generarea functiei peaks (cu rezolutie mica):

[x,y] = meshgrid(-3:1:3);
z = peaks(x,y);
surf(x,y,z)

2. Generarea unei suprafete mesh fine pentru interpolare:

[xi,yi] = meshgrid(-3:0.25:3);

3. Interpolarea cu metoda celei mai apropiate vecinatati:

zi1 = interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest');

4. Interpolarea cu metoda biliniara:

zi2 = interp2(x,y,z,xi,yi,'bilinear');

5. Interpolarea cu metoda bicubica:

zi3 = interp2(x,y,z,xi,yi,'bicubic');

6. Compararea graficelor corespunzatoare diferitelor metode de interpolare:

Compararea contururilor suprafetelor in cazul diferitelor metode de interpolare:

Se observa ca metoda bicubica produce cele mai netede contururi. O metoda cum ar fi cea a celor mai apropiate vecinatati este preferata insa in anumite aplicatii, cum ar fi cele medicale unde nu trebuie generate date noi.