Poeme geometrice

Punct divin

Fiind dat triunghiul care are trei laturi egale 

Deci e din categoria celor echilaterale

Si considerand oricare punct pe cercul circumscris

Vom descoperi o lege cu un caracter precis 

Caci unind cele trei varfuri cu-acest punct, care e cheia,

Vom gasi doua distante cu suma egala cu-a treia.

Falsul ecuator

Voi presupune ca avem

O ata lunga pe mosor,

Ce-ntrece numai cu un metru

Lungimea de ecuator.

Si desfacand in minte ata,

Incerc perfect sa inconjor,

Cu multa truda si migala,

Pamantul la Ecuator.

Atunci apare cu temei

Un semn de intrebare-n fata:

Pisica mea cea dragalasa

Poate sa treaca pe sub ata?

Secrete diagonale

Desenati

cu un creion

un poligon

Numarati

ale sale

laturi si diagonale

Demonstrati

o regula

generala

Si aflati

o formula

universala.

Postludiu bisector

'Geometrul adesea adanc se concentreaza'

Dante - Divina Comedie

Oricare-ar fi doua laturi ce-apartin unui triunghi 

Se unesc, precum se stie, intr-un punct formand un unghi

Si de-aicea se desprinde o dreapta despartitoare 

Despre care stim cu totii ca se cheama bisectoare 

Si avand aceste date, fara orice alte sfaturi 

Singuri veti afla o lege despre cele doua laturi, 

Caci de doua ori raportul cu produsul lor si suma 

E, fata de bisectoare, mai mare intotdeauna.

Planeta strapunsa

'Cum as putea oare sa-i cer

Sa numere ce este-n cer?'

L.F.Magnitchi - Aritmetica, 1703

O planeta,

Nu stiu dupa care reteta,

A fost strapunsa

De o racheta

Nu stiu cum pe acolo ajunsa.

Si de atunci acest sferoid

Desi foarte solid

A ramas cu o gaura

Perfect cilindrica

De la un capat la altul

Lasata de bolid

Care

In practica

Masoara,

Se pare,

O subunitate galactica

Pe generatoare.

Puteti calcula, oare,

Indata,

Ce volum are

Aceasta planeta ciudata?

Duel diagonal

'Doua paralele una langa alta

Tot fugeau in zare'

M.Cantor - Intalnirea paralelelor

Un trapez

isoscel

desenez

cat mai fidel

si constat

pe hartie

ca linia sa

mijlocie

e egala

in lungime

cu a lui

inaltime

iar acum

demonstrez

ca un astfel

de trapez

are

ale sale

diagonale

strict perpendiculare.

Comensurabilitate

'Nu merita numele de om, acela care nu stie ca

diagonala patratului este incomensurabila cu latura sa'

Platon

Un teren dreptunghiular

de arie cat un ar,

are, masurat cu metrul,

cincizeci si opt in perimetru,

dar, daca-l masori la scoala,

cat are-n diagonala?

Interior

Spune, daca poti sa afli, octogonul regulat

Care-ncape cel mai bine intre laturi de patrat?

Ecou pitagoreic

'De nu-ntelegi stiinta mea

sa intri nu-i permis'

Pitagora

Intr-un triunghi oarecare,

una din laturi la patrat

face exact

cat suma de patrate

a celorlalte doua laturi

alaturate

plus

(atunci cand unghiul opus

este obtuz)

sau minus

(atunci cand unghiul amintit

e ascutit)

dublul produs

al uneia

dintre aceste laturi

cu proiectia

celeilalte

pe ea.

Suprafete

'Nimeni sa nu intre in casa mea

daca nu e geometru'

Platon

Unind mijloace de laturi

La orice trapez

Am vazut ca pot sa aflu

Sau sa calculez,

Cu destula usurinta

Si fara mister,

Aria celui ce este

Nou patrulater.

POEME GEOMETRICE – RASPUNSURI

Punct divin

     Fie triunghiul echilateral ABC inscris in cerc (vezi figura), iar pe acest cerc consideram un punct oarecare P. Din acest punct construim segmentele PA, PB, PC despre care trebuie sa demonstram relatia enuntata. Pe segmentul AP consideram un punct R cu prprietatea ca segmentele PR si PC sunt cungruente, deci triunghiul PRC este isoscel. Insa unghiul <APC este de 60 , si subintinde acelasi arc de cerc ca si unghiul <ABC, ceea ce inseamna ca triunghiul PRC este echilateral. Acum vom observa ca triunghiurile ARC si BPC sunt congruente, intrucat AB = BC, RC = PC iar unghiurile <ARC si <BPC au fiecare cate 120      Ca urmare, rezulta ca segmentele AR si BP sunt congruente, de unde se poate vedea ca segmentul AP este egal cu suma segmentelor BP si PC.

Falsul ecuator

     Fie r raza Pamantului la ecuator. Lungimea ecuatorului este 2r, masurata in metri, iar lungimea atei va fi 2r+1=2R, masurata tot in metri. Atunci 2R-2r = 1, deci R-r = 0,5. Rezulta ca distanta dintre cele doua cercuri concentrice (diferenta dintre razele acestora), este 0,5, adica ceva mai mult de 15 centimetri.      Asadar, se poate accepta faptul ca o pisica se poate strecura pe sub aceasta ata.

Secrete diagonale

     Fie P , P , . . . , P_n cele n varfuri ale unui poligon cu n laturi. Daca pornim cu constructia diagonalelor incepand cu punctul P , atunci din acest punct si din urmatorul P vom putea construi cate n-3 diagonale.      Incepand insa cu punctul P si urmatoarele, numarul diagonalelor ce pot fi construite scade cu cate o unitate pentru fiecare punct, pana in punctul P_n-2 cand se va putea duce doar o singura diagonala iar din punctele P_n-1 si P_n nu se va mai putea duce nici o diagonala. Prin urmare, numarul total de diagonale pentru un poligon cu n laturi va fi : 

N = 1 + 2 + . . . + (n-3) + (n-3) = n(n-3)/2.

Postludiu bisector

     In triunghiul ABC consideram bisectoarea CC' si ducem paralela C'C'' la latura AC. Notam BC = a si AC = b iar bisectoarea CC' o notam cu x (vezi figura). Din asemanarea triunghiurilor AC'C'' si ABC gasim ca DC''/BC = C'C''/AC sau (a-CC'')/a = C'C''/b. 

     Din triunghiul CC'C'' care este isoscel avem ca CC'' = C'C'', de unde gasim ca CC'' = ab/(a+b). Dar in tringhiul CC'C'' avem si x < 2CC''. Asadar, se gaseste inegalitatea din enuntul problemei, adica 

x < 2ab/(a+b).

Planeta strapunsa

     Fie R raza sferei (planetei). Din figura de mai jos deducem ca raza gaurii cilindrice va fi radacina patrata din R -1/4, iar inaltimea calotelor sferice va fi de R-1/2.       Pentru a determina volumul corpului ramas prin indepartarea gaurii cilindrice si a celor doua calote sferice vom scadea volumul acestora din volumul planetei initiale. 

     Volumul planetei este 4R /3. Volumul calotei se obtine din formula urmatoare: 4h(3r +h )/6, unde h reprezinta inaltimea iar r este raza.       Asadar, volumul calotei sferice este p(4R -3R +1/4)/6, iar volumul cilindrului este p(R      Prin diferenta se obtine volumul planetei gaurite, adica /6 u.g.       Observatie : Prin u.g. s-a notat unitatea de masura care in problema apare sub denumirea de 'unitate galactica'.

Duel diagonal

     In figura de mai jos se considera AB = a si DC = b. Atunci MN = (a + b)/2 = DD' = CC' (ipoteza). Cum AD' = BC' = (a-b)/2, rezulta ca AC' = BD' = h+(a-b)/2. Asta inseamna ca triunghiurile ACC' si BDD' sunt dreptunghice isoscele si folosind unghiurile lor de 450, gasim imediat ca AC este perpendiculara peBD.

Comensurabilitate

     Daca d este diagonala, iar x si y sunt laturile dreptunghiului atunci, din datele problemei, deducem urmatoarele relatii: 

xy = 100 
x + y = 29.

     Dar d2 = x2 + y2 = (x+y) 2 - 2xy = 641. 
     In concluzie, diagonala dreptunghiului este egala cu radacina patrata a numarului 641.

Interior

     Se considera un patrat de latura 1. Octogonul regulat de arie maxima inscris in patrat este cel care se poate vedea in figura de mai jos. 

     Notam cu x latura acestui octogon si rezulta ca  AL = MB = (1-x)/2.      Cum triunghiurile SAL, MBN, OCP, QDR sunt dreptunghice isoscele, avem, aplicand teorema lui Pitagora, ca  2((1-x)/2) = x ,  ecuatie din care gasim singura solutie valabila: 

x = V2 - 1.

Ecou pitagoreic

     Avem de-a face cu faimoasa teorema a lui Pitagora sub forma ei generalizata. 

     Consideram cazul triunghiului ABC cu unghiul <A ascutit. Fie BB' proiectia punctului B pe latura AC. Folosind teorema lui Pitagora in triunghiurile dreptunghice BCB' si BAB' gasim ca: 

BC = AB + B'C - AB' = AB + (AC-AB') = AB + AC - 2AB'.AC.

     In mod analog se rezolva si cazul unghiului obtuz.

Suprafete

     In figura de mai jos punctele P, Q, R, S sunt mijloacele laturilor trapezului ABCD. Construim diagonalele AC si BD si fie O punctul lor de intersectie. Aria patrulaterului OA'PB' este jumatatea ariei triunghiului OAB (segmentele A'P, B'P si A'B' sunt linii mijlocii). 

     In mod analog, ariile patrulaterelor OB'QC', OC'RD' si OD'SA' sunt egale fiecare cu jumatati de arii ale triunghiurile OBC, OCD si respectiv, ODA. In consecinta, prin insumare, aria patrulaterului PSQR este o jumatate din aria trapezului dat.