PROBLEME GEODEZICE DE BAZA

1.Scopul si importanta problemelor geodezice de baza

Pe baza observatiilor executate pe suprafata terestrǎ, proiectate pe elipsoidul de referintǎ, urmeaza sa stabilim prin calcul pozitiile punctelor geodezice de prim ordin intr-un anumit sistem de coordonate utilizat pe elipsoid.

Pentru ca sistemul coordonatelor geodezice prezinta avantaje deosebite comparativ cu celelalte sisteme, privind calculele necesare si modul unitar de determinare a punctelor geodezice, indiferent de pozitia lor pe suprafata elipsoidului, in practica geodezica este utilizat in mod curent.

Problemele geodezice de baza se refera la sistemul coordonatelor geografice elipsoidale si constau in urmatoarele :

a. Problema geodezica directa, determina coordonatele geodezice “B₂”, “L₂” ale unui punct , “S₂” (fig.1) si azimutul “A₂” in acest punct in functie de coordonatele geodezice ale punctului “S₁”(B₁, L₁) si elementele geodezice de legatura (distanta “s₁₂” intre punctele “S₁” si “S₂” si azimutul “A₁” in punctul “P₁”).

Aceasta problema este similarǎ cu problema cunoscuta la topografie, privind determinarea coordonatelor (x₂, y₂) ale unui punct “S₂” in functie de coordonatele (x₁, y₁) ale punctului “S₁”,distanta “s₁₂” si orientarea “θ₁₂”.

Problema geodezica directa, dat fiind scopul care-l urmareste, mai poarta denumirea si de problema transportului de coordonate geodezice.

b. Problema geodezica inversa, utilizeaza ca marimi coordonatele geodezice, ^“B₁^”, ^“L₁^” si ^“B₂^”, “L₂^” ale punctelor “S₁” si “S₂” cu ajutorul cǎrora se determinǎ azimutele “A₁”,”A₂” si lungimea liniei geodezice “s₁₂”.

Cu problema geodezica directa se calculeazǎ coordonatele unor puncte geodezice ce formeaza o retea geodezica de ordinul I, iar cu problema geodezica inversa se calculeazǎ elementele geodezice initiale (distante si azimute) si se verificǎ calculele efectuate la problema geodezica directa.

2.Precizia de calcul a coordonatelor geodezice

Precizia de calcul, ca in orice problema geodezica, urmareste ca erorile de calcul sa fie de cca. 10 ori mai mici fata de erorile medii ale marimilor masurate.

Evident, aceasta este in functie si de distantele intre punctele geodezice, respectiv cu cat distantele cresc precizia calculelor are o semnificatie deosebita.

Se poate arata ca, in triangulatia de ordinul I in care intervin distante geodezice, (in medie de 30 – 4o km) este necesar ca aproximatia de calcul pentru coordonatele geodezice “B” si “L” sa fie de ± 0’’ , pentru azimute de ± 0’’,001, iar pentru distante de ± 0,001m.

De asemenea din cauza distantelor geodezice relativ mici, la rezolvarea problemelor geodezice se aplica metode in care se accepta unele aproximatii cum ar fi: dezvoltari in serie, inlocuirea suprafetei elipsoidului cu sfera de raza medie, etc.

Rezolvarea problemei geodezice directe

In functie de lungimea liniei geodezice se pot distinge urmǎtoarele metode de rezolvare a problemelor geodezice directe:

metoda dezvoltǎrii in serie (metoda Legendre), pentru distante mici s<60 km;

metoda argumentelor medii(metoda Gauss), pentru distante medii 60<s<600km;

metoda Bessel, pentru distante geodezice mari <600<20000 km.

De mentionat, cǎ in prezenta lucrare se vor trata numai metodele de rezolvare a problemelor geodezice pentru distante scurte (s<60 km), urmand ca persoanele interesate sǎ regǎseascǎ celelalte metode in [10] 12], [13], [24] etc.

1.Metoda dezvoltarilor in serie

Fiind cunoscuta pozitia punctului initial S₁(B₁,L₁), lungimea liniei geodezice “s” si azimutul “A₁” al directiei S₁S₂ (fig.1), se pune problema determinǎrii coordonatelor geodezice “B₂” si “L₂”, ale punctului “S₂” si azimutul invers “A₂”.

Deoarece diferentele (B₂ – B₁), (L₂ – L₁) si (A₂ – A₁ vor fi functie numai de lungimea liniei geodezice “s” se acceptǎ urmǎtoarele dezvoltǎri in serie Maclaurain:

(1)

Fig.1.Problema geodezicǎ directǎ

Derivatele din egalitatile (1.) se calculeaza in punctul “S₁”, deci cu marimile cunoscute in acest punct.

Pentru calculul derivatelor de ordinul I, ne vom referi la fig.2, in care “ds” este un element liniar al liniei geodezice S₁S₂. Elementele cunoscute in punctul “S₁” (latitudine, longitudine si azimut) sunt notate cu B, L, A, urmand ca expresiile derivatelor de ordinal I sǎ fie stabilite in mod geometric.

Astfel din triunghiurile S₁S’S si O’S’S₁ rezultǎ derivata latitudinii “B” in raport cu lungimea infinitezimalǎ a liniei geodezice :

                      (2)

Fig.2. Metoda Legendre

Din triunghiurile S₁S’S si OSS’ rezultǎ derivata longitudinii (L) in raport cu linia geodezicǎ :

(3)

Din triunghiurile S₁S’S si P’SS’ rezultǎ derivata azimutului (A) in raport cu ds:

(4)

Eseu: Test de evaluare intiala Geografie - clasa a VI-a Proiect: Vegetatia, fauna si solurile- test

Recapituland, expresiile derivatelor de ordinul intai se prezintǎ sub forma:

(5)

            

Inlocuind in (5) valorile razelor de curburǎ, conform relatiilor (l.34) si (1.36) se obtine:

(6)

Derivatele de ordin superior ordinului intai se obtin derivand succesiv in raport cu “s” expresiile (6) .Astfel, derivatele de ordinul doi se prezintǎ sub forma :

                (7)

In urma prelucrǎrii relatiilor (7.) rezulta :

                                

(8)

in care s-a notat :

    (9)

Pentru celelalte derivate se procedeaza analog.

Revenind la relatia (l.), in care se inlocuiesc expresiile derivatelor se obtin relatiile definitive :

(10)

      (11)

(12)

in care :

(13)

Relatiile (10. (11.) si (12.) pot fi scrise mai simplu notand coeficientii marimilor u , v , u², v², cu a, b, c . ,de indici diferiti.

Pentru elipsoidul de referinta Krasovski acesti coeficienti se extrag din tabele in functie de latitudinea “B₁” a punctului “P₁”.

2.Metoda inlocuirii suprafetei elipsoidului cu                          sfera Gauss

Consideram punctele “P₁” si “P₂” (fig.a) pe o sfera de raza medie a triunghiului sferic P₁PP₂ .Se cunosc coordonatele geodezice ale punctului “P₁”( B_1, L₁=0), azimutul directiei P₁ P₂ (A1) si lungimea liniei geodezice “s”. Se vor determina coordonatele punctului “P₂” (B₂, L₂) si azimutul invers”A₂”.

Pentru a usura scrierea relatiilor se alege un triunghi sferic a cǎror elemente sunt reprezentate in fig. b.

Pentru rezolvarea problemei scriem formulele a trei elemente adiacente intr-un triunghi sferic oarecare (fig.3 b) si obtinem :

(13)

Fig. a.Triunghiul sferic pe sferǎ;

b. Notatiile in triunghiul sferic.

Triunghiul sferic ABC identificat cu triunghiul sferic P₁P₂P conduce la egalitatile :

A = A₁              a = 90⁰ – B₂

B = 180⁰-A’₁                b = 90⁰ – B₁

C = L₂                           c = s

si cu ajutorul acestora :

                 (15)

Introducand egalitatile (l5.) in (1) se obtine

I

II

III        

IV        

Prin impartirea relatiilor I si II; III si IV se obtine:

      (17)

Rezolvand sistemul de ecuatii (17) se obtin necunoscutele “” si “L₂” in functie de coordonatele geodezice ale punctului “P₁” si lungimea geodezicǎ “s”. Azimutul invers A₂=+200^g.

Pentru a afla latitudinea geodezicǎ a punctului “P₂” (B₂) se impart relatiie I si III ; II si IV:

(18)

Cele doua relatii (18.) determina aceeasi marime si anume latitudinea “B₂” a punctului “P₂”.

Este de precizat ca metoda descrisa conduce la aceleasi valori cu cele obtinute prin utilizarea relatiilor (10.), (11.), (12.), dar transformate, in sensul ca semiaxele suprafetei elipsoidului vor fi egale, deci a = b si in consecinta :

excentricitatea e = e’ = 0

deci

N =M= R

4. Rezolvarea problemei geodezice inverse

.Metoda inlocuirii suprafetei elipsoidului cu                                   sfera Gauss

In limita aproximatiilor admisibile, pentru distante mici, se poate asimila suprafata elipsoidului cu suprafata unei sfere de razǎ medie Gauss.

Ne vom referi la figurile 4 a si 4 b , pe baza carora putem, in prima etapa, scrie formulele semisumei si semidiferentei sinusului si cosinusului in triunghiurile sferice:

                   (20)

Prin identificarea triunghiurilor P₁PP₂ si CAB rezulta :

A = L₂                           a = s

B = 180-      b = 90 – B₁

C = A₁ c = 90 – B₂

Fig.4.a.Triunghiul pe sferǎ;

b. Triunghiul sferic corespondent

si cu ajutorul acestora se calculeazǎ:

                     

(22)

               

Inlocuind egalitatile (22.) in (20.) se obtine :

I

II          (23)

III        

IV        

Impartind egalitatile I la II si III la IV obtinem :

(24)

In relatiile (24.), coordonatele punctelor “P₁” si “P₂” fiind date, rezulta ca “B₁”, “B₂” si“L₂” sunt cunoscute; deci prin rezolvarea sistemului de ecuatii pot fi determinate azimutele “A₁” si “”.

Impartind egalitatile I la III , si II la IV se obtine:

(25)

   

Una din relatiile (25) se utilizeazǎ pentru calculul lungimii liniei geodezice dintre punctele “P₁” si “P₂”, iar cealaltǎ pentru verificare.