Consideratii si asupra divizibilitatii in gimnaziu

Definitia 1: Daca n este un numar natural nenul, atunci n!= 1 n (n! = n factorial).

Prin conventie 0! = 1.

Problema 1 Aratati ca numarul S = 1! + 2! + 3! + . + 2000! + k nu este patrat perfect,
pentru k.

Solutie

pentru k

Ultima cifra a numerelor 5!, 6!, . , 2000! este 0 deoarece conform definitiei 1, ele sunt produse de numere naturale in care apar numerele 2 si 5.

Ultima cifra a sumei 1! + 2! + 3! + . + 2000! este de fapt ultima cifra a sumei 1! + 2! + 3! + 4! = 33, deci in acest caz, U(S) poate fi 2, 3, 7 sau 8, adica S nu este patrat perfect.

Reamintim: Ultima cifra a unui patrat perfect poate fi 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.

pentru k = 3

S = 1 + 2 + 3! + 4! + 5! + . + 2000! + 3 = 3 + 3! + 4! + . + 2000! + 3 care este divizibil cu 3 .

( daca n>3, atunci n! = 123 . 3 )

Pe de alta parte S = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 6! + 7! + . + 2000! + 3 = 156 + 6! + 7! + . + 2000! si

6! = 809 9 , 7! = 6!7 9 , . , 2000! = 6! . . 9 .

Am obtinut ca toate factorialele numerelor de la 6 pana la 2000 sunt divizibile cu 9 si cum 156 nu este divizibil cu 9 S nu este divizibil cu 9.

Reamintim: Daca S este divizibil cu a si S nu este divizibil cu a², atunci S nu este patrat perfect , unde a este un numar natural oarecare, mai mare sau egal cu 2.        

pentru k = 1

Orice numar natural poate fi scris sub una din formele 7p, 7p + 1, 7p + 2, 7p + 3, 7p + 4, 7p + 5 sau 7p + 6 ( aceste forme sunt date de Teorema impartirii cu rest pentru impartitorul 7 ). In concluzie un patrat perfect oarecare are una din formele (7p)², (7p + 1)², (7p + 2)², (7p + 3)², (7p + 4)², (7p + 5)² sau (7p + 6)². Efectuand ridicarile la patrat obtinem forma unui patrat perfect: 7t, 7t +1, 7t + 2 sau 7t + 4.
( de exemplu: (7p+3)² = 49p² + 42p + 9 = 7(7p² + 6p + 1) +2 = 7t + 2 ).
Pe de alta parte, suma noastra poate fi scrisa astfel:
S = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 +7! + 8! + . + 2000! + 1
sau S = 847 + (7! + 8! + . + 2000!) = 7124 + 6 + M₇ S = 7t + 6, adica S nu este patrat perfect.

pentru k = 2

S = 1+2+6+120 + (6! + . +2000!) + 2 = 155 + M₆ = 6q + 5 care nu este patrat perfect

Reamintim:
M₇ = multimea multiplilor numarului 7. In probleme, pentru a simplifica atat calculele, cat si scrierea, vom folosi notatia M_x si pentru un multiplu oarecare al numarului x.
Exemple: 25 = M₇ + 4 =M₆+1; 123 = M₁₀ + 3 = M₁₁ + 2 = M₇+4.

Problema 2: a) Sa se demonstreze ca A = 3265ⁿ + 1029ⁿ - 45ⁿ este divizibil cu 4.

b) Sa se demonstreze ca B = 34²ⁿ⁺¹ + 4 15ⁿ + 4134ⁿ este divizibil cu 7.

Reamintim: Utile in aceste probleme sunt rezultatele de mai jos :

( a + 1 )ⁿ = M_a + 1; ( a + b )ⁿ = M_a + bⁿ = M_b + aⁿ.

Exemple: 25ⁿ = ( 24 + 1 )ⁿ = M₂₄ + 1 = M₆ + 1 sau 25ⁿ = ( 7 + 18 )ⁿ = M₇ + 18ⁿ .

( a - 1 )ⁿ = M_a + 1; (a-b)ⁿ = M_a + bⁿ daca n este numar natural par   (*)
( a - 1 )ⁿ = M_a - 1; (a-b)ⁿ = M_a - bⁿ daca a este numar natural impar (**).

aⁿ-bⁿ=(a-b) K; a,bI.

Exemple: 73ⁿ = ( 72 + 1 )ⁿ = M₇₂ + 1; 34²ⁿ⁺¹ = ( 35 - 1)²ⁿ⁺¹ = M₃₅ - 1.

Analiza: Detergenti .Sapunuri. Substante tensio-active - clasificare Lucrare: Alchimie si alchimisti - stramosul chimiei analitice

Solutie :
a) Avem: 3265ⁿ = 3(264 + 1)ⁿ = 3( M₂₆₄ + 1 ) = M₄ + 3 ( 264 4 ).
1029ⁿ = 10(28 + 1 )ⁿ = 10( M₂₈ + 1 ) = M₄ + 10.

45ⁿ = ( 44 + 1)ⁿ = M₄₄ + 1 = M₄ + 1.

Deci A = M₄ + 3 + 10 - 1 = M₄ + 12 = M₄.

b) Vom scrie: 34 = 35 - 1 = M₇ - 1, 15 = 14 + 1 = M₇ + 1 si 134 = M₇ + 1. Folosind rezultatele de mai sus obtinem succesiv:
34²ⁿ⁺¹= ( M₇ - 1)²ⁿ⁺¹ = M₇ - 1 ( folosind (**) );
4 15ⁿ = 4( M₇ + 1)ⁿ = M₇ + 4;

134ⁿ = 4( M₇ + 1)ⁿ = M₇ + 4.
Adunand acum relatiile, obtinem: B = M₇ -1 + 4 +4 = M₇ , adica ce aveam de aratat.

Problema 3: Demonstrati ca A = 1+2+2²+2³+ . + 2²⁰⁰³ este divizibil cu 15.

Solutia 1:
In primul rand sa observam ca suma respectiva are 2004 termeni ( de la 1=2⁰ pana la 2²⁰⁰³ sunt 2004 numere ).
Apoi calculam suma primilor 2 termeni ai sumei, suma primilor 3 termeni ai sumei etc. pana cand rezultatul gasit este divizibil cu 15. Deci:
1+2 = 3 nu este divizibil cu 15;
1+2+2² = 7 nu este divizibil cu 15;
1+2+2²+2³ = 15 este divizibil cu 15 .
Am obtinut ca suma primilor 4 termeni este un numar divizibil cu 15. Sa vedem ce putem spune despre suma urmatorilor 4 termeni:
2⁴+2⁵+2⁶+2⁷ = 2⁴(1+2+2²+2³) = 2⁴15 care este divizibil cu 15.
Cei 2004 termeni pot fi aranjati in 501 grupe de cate 4 termeni in ordinea crescatoare a exponentilor, obtinand:
     A = (1+2+2²+2³) + 2⁴ A = (1+2+2²+2³) + 2⁴ (1+2⁴+2⁸+ . +2²⁰⁰⁰) care este un numar divizibil cu 15.

Solutia 2: Folosind formula: 1+x+x²+x³+ . +xⁿ=, x1.
De fapt, trebuie sa demonstram ca: (1+x+x²+ . +x^n-1+xⁿ )(x-1)=xⁿ⁺¹-1 .
Avem succesiv:
(1+x+x²+ . +x^n-1+xⁿ )(x-1)=x+x²+x³+ . +xⁿ+xⁿ⁺¹-1-x-x²-x³- . -xⁿ si se observa ca in afara de termenii subliniati, ceilalti se reduc.
Exemplu 1+7+7²+7³+ . +7²⁰⁰²+7²⁰⁰³ =
In formula de mai sus, pentru n=2003 si x=2, obtinem: 1+2+2²+2³+ . + 2²⁰⁰²+2²⁰⁰³ = .
Pe de alta parte, avem: 2²⁰⁰⁴-1 = -1=16⁵⁰¹-1=(15+1)⁵⁰¹-1=M₁₅+1-1=M₁₅.

Problema 4: Determinati nI, 1100<n<1300 cu proprietatea ca prin impartirea la 15, 18 si 20 se obtin resturile 12, 15 si respectiv 17.

Solutie: Din teorema impartirii cu rest, avem:
sau adunand 3 in ambii membri ai fiecarei egalitati T T n+3 este un multiplu comun al numerelor 15, 18 si 20. Avem [15;18;20]=180 si cum 1100:180=6,(1), 1300:180=7,(2) alegem n+3 = 7 180=1260, adica n = 1257.

Problema 5: Sa se determine toate numerele de forma divizibile cu 18.

Reamintim: 1) Daca a c, b c si (a;b)=1, atunci a b c. Exemplu: 3 36 si (3;4)=1, atunci 12 2) Daca a b, atunci a b k, oricare ar fi k natural.
                     3) Daca a b si a c, atunci a b+c si a b-c.
Criteriul de divizibilitate cu 2: daca c.
Criteriul de divizibilitate cu 3: daca a+b+c3
Solutie:
Daca18, atunci 2 si . Avem yI si 5+x+y9.
Numerele cautate sunt 14130; 12132; 10134; 19134; 17136; 15138.

Problema 6: Sa se arate ca numarul n³+5n6, oricare ar fi nI.

Reamintim: 1) Produsul a doua numere naturale consecutive este divizibil cu 2.
                     2) Produsul a trei numere naturale consecutive este divizibil cu 6.
Solutie:
n³+5n=n³-n+6n=(n-1)n(n+1)+6n

PROBLEME PROPUSE:

1. Demonstrati ca numarul A=7+7²+7³+ . +7¹⁰⁰ nu este patrat perfect.

2. Sa se arate ca, daca A este divizibil cu 41, atunci si numarul B este divizibil cu 41.

Determinati numarul stiind ca: 2+4+6+ . +

4. Sa se arate ca: 9²ⁿ - 4²ⁿ - 52 este divizibil cu 13.

5. Fie d₁;d₂; . ;d_k toti divizorii naturali ai numarului n. Demonstrati ca: (d₁ d₂ d_k)² = n^k.

6. Sa se arate ca numarul este divizibil cu 51.

7. Daca a=5n+3 si b=8n+5, atunci [a;b]=a b, oricare ar fi n natural.

8. Determinati numarul natural de trei cifre, , daca

9. Demonstrati ca:

a) A=2+2²+2³+ . +2²⁰⁰⁴ este divizibil cu 13.

b) B=( 2!+3!+ . +10!)! este divizibil cu 1022.

c) C= 7 n 6, n numar natural nenul.

Aflati numerele naturale de forma , mai mici decat 500, daca:

a) dau restul 5 la impartirea cu 9;
b) (a+b+c)7 si (

11. Aflati restul impartirii numarului