Home - qdidactic.com
Didactica si proiecte didacticeBani si dezvoltarea cariereiStiinta  si proiecte tehniceIstorie si biografiiSanatate si medicinaDezvoltare personala
referate didacticaScoala trebuie adaptata la copii ... nu copiii la scoala





Biologie Botanica Chimie Didactica Fizica Geografie
Gradinita Literatura Matematica




Matematica


Qdidactic » didactica & scoala » matematica
Formula lui Taylor



Formula lui Taylor


Formula lui Taylor


Fie un interval si Desemnam prin multimea functiilor de n ori derivabile si cu derivata de ordinul n, , continua pe I.Pentru n = 0, este multimea functiilor continue pe I.Daca spunem ca f este de clasa pe I.Daca pentru orice spunem ca f este indefinit derivabila pe I sau ca f este de clasa pe I.Astfel



Fie o functie derivabila de n+1 ori intr-un punct .Polinomul

se numeste polinomul lui Taylor de gradul n, asociat functiei f in punctul .Daca pentru orice notam atunci avem

sau :

Aceasta egalitate se numeste formula lui Taylor de ordinul n a functiei f in vecinatatea punctului iar se numeste restul de ordinul n al formulei lui Taylor si se poate exprima prin urmatoarele forme:


(a). numit restul sub forma lui Lagrange.

(b). unde numit restul sub forma Peano-Young.

Daca in formula lui Taylor se ia se obtine formula lui Mac Laurin:

unde

(a este restul sub forma lui Lagrange al formulei lui Mac Laurin.

(b este restul sub forma Peano-Young al formulei lui Mac Laurin.

Formula lui Leibniz.Aceasta formula generalizeaza pe aceea care da derivate intai a unui produs de doua functii derivabile.

Teorema: Fie ambele derivabile de n ori.Avem



.

Demonstratie.    Formula se stabileste din aproape in aproape. Ea este adevarata pentru n = 1.Admitand ca este valabila pentru ordinal q de derivare, se arata printr-o noua derivare ca ea este valabila si pentru ordinul q+1, deoarece coeficientii binomiali au proprietatea:

Exemplu: Sa se afle derivata de ordinul n a functiei Avem .Prin urmare: si pentru

Formula lui Taylor.Demonstratie.

Fie functia astfel ca :

1)   sunt continue pe [a,b];

2)   exista pentru orice punct .In aceste conditii are loc formula

(*)

cu

Demonstratie. Fie numarul A determinat prin egalitatea

,unde b > a.(**)

Fie functia F(x) definita prin

Ea este continua pe [a,b] si derivabila pe (a,b).Avem F(a)=f(b),F(b)=f(b),deci F(a)=F(b).Conform teoremei Rolle exista un astfel ca .Dar

Din conditia rezulta o noua expresie pentru A, care introdusa in (**) conduce la (*).






Contact |- ia legatura cu noi -| contact
Adauga document |- pune-ti documente online -| adauga-document
Termeni & conditii de utilizare |- politica de cookies si de confidentialitate -| termeni
Copyright © |- 2024 - Toate drepturile rezervate -| copyright