Metodele de rezolvare a problemelor - metode algebrice si aritmetice

Metodele de rezolvare a problemelor se clasifica in doua :

I. Metode algebrice ( utilizeaza in rezolvarea problemelor tehnica bazata pe

ecuatii si sisteme de ecuatii ) ;

ex . Produsul a doua numere este 1 040. Daca se micsoreaza primul factor cu 20 , produsul devine 240. Aflati cele doua numere .

Rezolvare :

Notam cu a = primul numar

b = la doilea numar , si inlocuim in problema datele cunoscute:

a x b = 1 040

( a - 20 ) x b = 240 → b = → a x = 1 040 → a x 240 = 1040 x ( a -20)

→ a x 240 = 1 040 a - 20 800 → 20 800 = 1 040 a - 240 a → 20 800 = 800 a

→ a = → a = 26

Inlocuim litera a cu 26 si obtinem : 26 x b = 1 040 → b = 1 040 : 26 → b = 40

Solutiile problemei sunt : a = 26 si b = 40.

II. Metode aritmetice :

1. metode fundamentale ( generale) - se bazeaza pe operatiile de

analiza si sinteza ale gandirii ;

a) metoda analitica ( se examineaza problema si pornind de la intrebarea ei , se descompune in probleme simple din care este alcatuita problema data);

ex. Intr-o fabrica lucreaza doua echipe : prima cu 6 strungari care fac cate 18 piese pe zi , a doua cu 7 strungari care fac cate 16 peise pe zi. O piesa costa 48 000 lei .

Ce valoare au piesele realizate de cele doua echipe intr-o zi ?

Datele problemei :

strungari ..cate 18 piese / zi

strungaricate 16 piese / zi

piesa ..48 000 lei

Rezolvare :

6 x 18 = 108 ( piese )

7 x 16 = 112 ( piese )

108 + 112= 220 ( piese )

48 000 lei x 220= 10 560 000 lei Raspuns : 10 560 000 lei

b) metoda sintetica ( gruparea datelor dupa relatiile dintre ele);

Problema mentionata mai sus se poate pune sub forma de exercitiu, astfel:

( 6 x 18 + 7 x 16 ) x 48 000 lei = ( 108 + 112 ) x 48 000 lei = 220 x 48 000 lei =

= 10 560 000 lei

Analiza: Simboluri chimice - element chimic se numeste simbol chimic Referat: Determinarea energiei de activare Arrhenius - reactia tiosulfatul de sodiu cu acidul sulfuric

2. metode aritmetice speciale ( sunt mai variate si difera de la o categorie de probleme la alta );

a) metoda reducerii la unitate

ex. 5 kg de mere costa 100 000 lei . Cati lei costa 7 kg mere ?

Datele problemei :

5 kg mere..100 000 lei

7 kg mere..? lei

Rezolvarea problemei :

5 kg mere..100 000 lei

1kg mere100 000 lei : 5 = 20 000 lei

7kg mere. 7 x 20 000 lei =140 000 lei

b) metoda figurativa ( grafica ) - se bazeaza pe utilizarea desenelor sau elementelor grafice pentru rezolvarea problemelor;

ex. Suma a doua numere este 1 270 . Stiind ca un numar este mai mare cu 88 decat dublul celuilalt , aflati cale doua numere.

1 270▬ I                                  1 270 - 88 = 1 182

▬ ▬ II 1 182 : 3 = 394 ( I )

88 394 x 2 + 88 = 788 + 88 = 876 ( II )

c) metoda comparatiei ( se foloseste la rezolvarea problemelor in care intalnim

doua marimi necunoscute care sunt legate intre ele prin doua relatii

liniare bine precizate) ;

ex. 4 kg de mere si 6 paini costa 170 000 lei . 4 kg mere si 2 paini costa

110 000 lei . Cati lei costa 1 kg de mere si cati lei costa o paine ?

Datele problemei :

4 kg mere .6 paini.170 000 lei

4 kg mere .2 paini.110 000 lei

1 kg mere ? lei

1 paine..? lei

Rezolvarea problemei:

Se observa ca diferenta dintre cele doua preturi se datoreaza diferentei dintre numarul painilor .

6 - 2 = 4 ( paini )

170 000 lei - 110 000 lei = 60 000 lei

60 000 lei : 4 = 15 000 lei ( costa o paine )

Inlocuim acest rezultat intr-una dintre relatii . O alegem pe a doua pentru ca este mai simpla . Stim ca o paine costa 15 000 lei si in a doua relatie sunt specificate 2 paini , deci : 2 x 15 000 lei = 30 000 lei.

Ramanem tot la a doua relatie si constatam ce cunoastem:

2 paini costa 30 000 lei

110 000 lei au costat cumparaturile ( 2 paini si 4 kg mere )

Judecam astfel :

Din intreaga suma scadem valoarea painilor , adica : 110 000 lei - 30 000 lei = 80 000 lei ( reprezinta valoarea celor 4 kg de mere)

80 000 lei : 4 = 20 000 lei ( costa 1 kg de mere )

d) metoda falsei ipoteze ( rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei

presupuneri) ;

ex. Intr-o vaza sunt 7 flori . Unele au 3 petale , altele au 5 petale . Stiind ca in vaza sunt 25 de petale , aflati cate flori au 3 petale si cate au 5 petale?

Datele problemei :

flori → cate 3 petale si cate 5 petale.25 petale

Rezolvarea problemei :

Presupunem ca toate florile ar avea cate 5 petale . Atunci cele 7 flori ar avea

5 x 7 = 35 ( petale )

In realitate sunt doar 25 petale , deci avem cu 10 petale in plus , adica

35 - 25 = 10 ( petale )

In vaza erau flori cu 5 petale si cu 3 petale , deci primele aveau cu 2 patele mai mult , adica : 5 - 3 = 2 ( petale )

10 : 2 = 5 flori ( cu 3 petale )

Daca in total erau 7 flori , rezulta ca sunt 2 flori cu cate 5 petale , adica

7 - 5 = 2 flori ( cu 5 petale )

Proba : 5 + 2 = 7 ( flori in vaza )

5 x 3 + 2 x 5 = 15 + 10 = 25 ( petale )

e) metoda mersului invers ( retrograda )- rezolvarea se face pornind de la

sfarsitul problemei spre inceputul ei;

ex. Marind un numar cu 5 si apoi dublam rezultatul . Rezultatul obtinut il marim cu 10 si obtinem 40. Aflati numarul initial.

Datele problemei :

[ ( a + 5 ) x 2 ] + 10 = 40

Rezolvarea problemei:

( a + 5 ) x 2 = 40 - 10

( a + 5 ) x 2 = 30

a + 5 = 30 : 2

a + 5 = 15

a = 15 - 5

a = 10

Probleme de miscare

Notam : s = spatiul , v = viteza , t = timpul , h = ora

Relatiile dintre ele : s = v x t ; v = s : t ; t = s : v

ex. Doi turisti parcurg distanta de la A la B . Primul a sosit in B cu 2 ore mai tarziu decat al doilea. Viteza primului turist a fost de 4 km/h , al celui de-al doilea de 6km/h. Determinati distanta dintre A si B.

Rezolvare : Se observa ca in fiecare ora primul turist ramane in urma fata de al doilea cu 2 km.

s₁ = v₁ x t₁ → s₁ = 4 km/h x 2 h = 8 km ( distanta dintre primul turist si al doilea care ajunsese in B) ;

t₁ = s₁ : v₁ → t₁ = 8 km : 2 km/h → t₁ = 4h ( timpul carea arata ramanerea in urma a primului turist);

s = 6 km/h x 4 h = 24 km ( distanta dintre A si B )

Raspuns : 24 km