Polinom caracteristic

Polinom caracteristic

Definitie: Fie A = o matrice patratica de ordinul n cu coeficienti complecsi. Atunci matricea se numeste matricea caracteristica a matricii A.

Propozitie: Polinomul este de gradul n.

Produsul elementelor de pe diagonala principala contine termenul , oricare alt produs va contine cel mult n-2 elemente de pe diagonala principala, deci va contine puterea . Coeficientul lui este , iar termenul liber al polinomului coincide cu det(A).

Definitie: Polinomul se numeste polinomul caracteristic al matricii A, iar radacinile sale se numesc valori proprii ale acestei matrici.

Definitie: Matricile A si B se numesc matrici asemenea daca exista matricea inversabila Q, astfel incat .

Teorema: Doua matrici asemenea au acelasi polinom caracteristic si aceleasi valori proprii.

Teorema: Matricile AB si BA au acelasi polinom caracteristic.

Teorema lui Hamilton-Cayley: Orice matrice patratica isi satisface propria ecuatie caracteristica.

Pentru o matrice patratica de ordinul doi avem:

, unde

Metoda Fadeev de determinare a coeficientilor polinomului caracteristic:

unde coficientii c_i  se determina cu ajutorul urmatorului tabel:

ultima relatie fiind una de control.

Observatie: Daca A este nesingulara, atunci .

Observatie: Teorema lui Hamilton-Cayley ne ofera o alta modalitate de a determina .

de unde .

Probleme:

Determinati polinomul caracteristic al matricii .

Polinomul caracteristic este