Teoria probabilitatilor - camp de evenimente - definitie

INTRODUCERE

Notiunea de probabilitate este un concept fundamental in statistica. Toate testele statistice implica calculul probabilitatilor, fie direct, fie indirect. Statistica nu lucreaza cu certitudini, ci cu probabilitati. Ipotezele statistice nu pot fi considerate in totalitate adevarate sau false.

Rationamentul probabilist explica evenimentele fundamentale ale universului fizic in care traim precum si o mare parte din evenimentele petrecute in lumea fiintelor vii. Utilitatea aproape nelimitata a rationamentului probabilist este unul din aspectele cele mai importante si mai izbitoare ale stiintei moderne. Acest punct de vedere a fost dezvoltat si acceptat mai ales in ultimii 80 de ani, cu toate ca teoria probabilitatilor s-a nascut cu peste trei secole in urma.

Vom examina in acest capitol numai acel tip de rationament, in care un pas conduce in mod ordonat la pasul urmator, intregul proces succesiv conducind in final la o concluzie. Acest gen de gandire ajunge la un nivel foarte rafinat in matematica, precizia sa depinzand de mai multi factori: modul precis in care sunt definiti termenii, rigoarea cu care definitiile sunt respectate si atentia cu care toate regulile de actiune sunt puse in evidenta si clar exprimate. Acest mod de a gandi constituie gadirea logica, iar logica insasi poate fi definita astfel drept studiul sistematic al conditiilor si procedeelor care permit o judecare valabila, cu alte cuvinte care permit sa se porneasca de la una sau mai multe afirmatii si sa se deduca din aceasta una sau mai multe concluzii, sau propozitii noi care sa fie valabile, in sensul justificarii lor de catre propozitiile initiale ale caror consecinte sunt de fapt. Este extrem de important faptul ca logica nu afirma ceva din nimic ci scoate la iveala afirmatii, propozitii si relatii cuprinse in propozitiile initiale. Ceea ce are importanta, prin urmare, intr-o intr-o astfel de gandire logica nu este adevarul, ci mai degraba valabilitatea sa. O concluzie logica poate sa merite pe drept cuvant adjectivele : corecta, sanatoasa sau precisa, toate acestea insemnind ca ea a fost dedusa in mod riguros din materialul initial. Dar faptul ca a fost dedusa prin metode logice corecte nu inseamna catusi de putin ca ea este in mod necesar adevarata. Daca afirmatiile (ipotezele) initiale sunt adevarate, atunci consecintele logice deduse trebuie sa fie adevarate.

Logica probabilista ia in considerare o serie intreaga de afirmatii, dintre care nici una nu este total falsa sau total adevarata, ordonindu-le in raport cu gradul lor de adevar, spunind cu cat este mai plauzibila sau mai putin plauzibila una fata de cealalta. Logica probabilista nu se limiteaza numai la doua valori de adevar 0 si 1, ci utilizeaza o infinitate de valori exprimate ca numere situate intre 0 si 1.

Teoria probabilitatilor poate sa analizeze acele situatii in care nu avem suficiente informatii care sa permita aplicarea logicii clasice; ea este capabila sa ne dea un cel mai bun tip de raspuns pe care-l justifica o informatie incompleta. Intr-un mare numar de cazuri, teoria probabilitatilor nu ne spune numai 'sfatul meu este asa si asa', ci poate sa ne indice gradul de incredere pe care suntem indreptatiti sa-l acordam sfatului dat.

In diferite stadii ale dezvoltarii stiintei se poate considera un ansamblu de fenomene reale si se poate cauta pentru el un model matematic. De exemplu o familie de ipoteze plus teoria pura care rezulta pe baza acestora si care se aplica cu stricta precizie unui sistem fizic idealizat - suficient de asemanator sistemului fizic real - in asa fel incat teoria sistemului idealizat va 'explica' sau macar va organiza si simplifica fenomenele reale.

Primii experti in teoria probabilitatilor vorbeau despre extragerea de bile colorate din urne. Aceasta nu pentru ca lumea ar fi intr-adevar interesata in urne cu bile ci pentru ca deseori acestea puteau fi folosite ca modele utile ale unor situatii reale. Calculele probabilistice se aplica strict la modele fictive pe care ele sunt bazate. Daca ele se aplica sau nu in mod util situatiilor reale este o chestiune la care trebuie sa reflectam cu grija.

Camp de evenimente

In teoria probabilitatilor sunt studiate experientele cu rezultat intamplator, numite experiente aleatoare; pe scurt experiente (experimente).

Definitie. Prin experienta in teoria probabilitatilor se intelege orice act care poate fi repetat in conditii date.

Nu se poate preciza rezultatul exact al unei experiente. De exemplu la aruncarea unei monede nu se poate sti dinainte ce fata a monedei va apare. De asemenea la aruncarea unui zar nu se poate sti dinainte ce fata a zarului va apare. Orice eveniment aleator depinde de actiunea combinata a mai multor factori intamplatori.

Rezultatele posibile ale experientei se numeste proba.

Definitie Orice situatie legate de experienta si despre care putem spune ca s-a produs sau nu, dupa efectuarea experientei, poarta numele de eveniment. aleator

Cu alte cuvinte, un eveniment aleator sau pe scurt eveniment (atasat experientei) este orice situatie care se poate realiza prin una sau mai multe probe.

Deci un eveniment este determinat prin multimea probelor prin care se realizeaza, prin urmare il putem interpreta ca o submultime a multimii tuturor probelor experientei.

Exemple

1. Aruncarea unei monezi este un experiment. Apartitia oricarei fete o proba. Aparitia unei anumite fete este un eveniment.

2. Aruncarea zar este un experiment. Apartitia oricarei fete o proba. Aparitia unei anumite fete este un eveniment. Aparitia fetelor 2, 3, 4, este de asemenea un eveniment.

Evenimentele aleatoare se supun unor legi, cunoscute sub numele de legi statistitice, teoria probabilitatilor stabilind forma lor de manifestare si permitand sa se prevada desfasurarea lor.

Evenimentele care se realizeaza printr-o singura proba se numesc evenimente elementare, celelalte se numesc evenimente compuse.

Evenimentul care se realizeaza prin oricare din probe se numeste eveniment sigur (notat prin E).

Exemplu. Aparitia oricarei fete la o moneda sau la un zar.

Evenimentul care nu se realizeaza prin nici o proba se numeste eveniment imposibil, notat cu

Exemplu. Aparitia niciunei fete la o moneda sau la un zar.

Evenimentul contrar lui A sau non-A (sau A) este evenimentul care se realizeaza atunci si numai atunci cind nu se realizeaza A.

Exemplu. Aparitia unei fete cu numar par la un zar si aparitia unei fete cu numar impar sunt evenimente contrare.

Intotdeauna unui eveniment ii corespunde un eveniment contrar, a carui producere inseamna nerealizarea primului.

Definitie. Spatiul de selectie asociat cu o expereienta este multimea de elemente cu proprietatea ca orice eveniment rezultat in urma experientei corespunde unui singur element al acestei multimi.

Definitie. Fie multimea E= multimea tuturor evenimentelor elementare corespunzatoare unei experiente. Se numeste camp finit de evenimente, multimea tuturor submultimilor lui E, la care se adauga multimea E insasi si

Exemple: La aruncarea unei monezi avem urmatoarele situatii (evenimente) : aparitia unei fete, aparitia celeilalte fete, aparitia oricarei fete (E) si aparitia nici uneia din fete ( ). In total sunt 4 evenimente

Un camp de evenimente se noteaza cu unde prin E intelegem evenimentele, iar K semnifica numarul evenimentelor.

Observatie: Ori de cate ori intr-o relatie vor intra mai multe evenimente, vom presupune ca ele apartin aceluiasi camp si nu vom mai specifica acest lucru.

Operatii cu evenimente.

Cand in cadrul unei experiente ne fixam atentia asupra unui eveniment, de fapt, ne fixam atentia asupra unei parti din multimea rezultatelor experientei.

Exemplu. La aruncarea unui zar ne intereseaza evenimentul A care consta in aparitia uneia din fetele 2, 4 sau 6. Evenimentul A este perfect determinat de multimea formata din aceste doua rezultate si deci il putem identifica cu aceasta. Vom scrie

Eseu: Control de gestiune - intrebari examen partial Referat: Procesul asigurarea calitatii - tratarea produsului neconform

A=

Consideram ca evenimentul B consta numai din aparitia fetei 2 si 4.

Se observa ca evenimentul A se produce ori de cate ori se produce evenimentul B. Astfel putem scrie :

B A

Definitie Fiind date doua evenimente A si B, numim reuniunea lor, A B, evenimentul a carei producere consta in producerea a cel putin unul din cele doua evenimente.

Exemplu. La aruncarea unui zar se considera evenimentele

A=, B=

Evenimentul A se produce daca obtinem unul din rezultatele , sau , iar B daca se obtine unul din rezultatele , sau

A B=

Definitia 3 Intersectia evenimentelor A si B consta in producerea simultana a evenimentelor A si B.

Pentru exemplul de mai sus, avem urmatoarea expresie :

A B=

Definitia 4 Spunem ca doua evenimente sunt compatibile daca se pot produce simultan.

Exemplu. Aparitia fetei si aparitia fetelor impare.

Definitia 5. Spunem ca doua evenimente sunt incompatibile daca nu se pot produce simultan.

Exemplu. Aparitia unei fete pare si aparitia unei fetelor impare.

Se foloseste expresia

A B=

Definitie Fie A un eveniment; daca intr-o serie de n probe, evenimentul A s-a realizat de n_A ori, numim frecventa relativa a evenimentului A numarul f(A) = n_A/n.

Camp de probabilitate

Consideram o experienta cu n evenimente elementare (deci n probe) egal posibile si fie A un eveniment oarecare, care se poate realiza prin m probe; m n

Definitie (definitia clasica a probabilitatii). Se numeste probabilitatea evenimentului A, numarul P(A)=m/n, adica raportul dintre numarul cazurilor favorabile si numarul cazurilor egal posibile.

Probabilitatea unui eveniment elementar este 1/n (n fiind numarul probelor).

Proprietati:

P(A)

2) P(

3) P(E)=1, m=n

4) P(A) = 1-P(A)

5) P(A B) = P(A)+P(B), daca A B= (evenimente incompatibile)

6) P(A) P(B) daca A B.

Definitie (definitia axiomatica aprobabilitatii). O probabilitate P definita pe campul de evenimente este o functie care asociaza fiecarui eveniment AI un numar real P(A) care satisface urmatoarele axiome:

1) P(A) AI

2) P(E)=1, E fiind elementul sigur

3) P(A B)=P(A)+P(B), A,BI, A B=

Observatie. Definitia clasica a probabilitatii satisface toate axiomele definitiei de mai sus.

Definitia 8. Numim camp finit de probabilitate un camp finit de evenimente inzestrat cu o probabilitate; se noteaza .

Evenimente independente. Doua evenimente A, B sunt independente daca:

P(A B) = P(A) P(B)

Evenimente incompatibile. Doua evenimente se numesc incompatibile daca

A B= deci P(A B) = P(

Scheme calsice deprobabilitate.

Calculul probabilitatilor de aparitie a unor evenimente este acelasi pentru o clasa larga de experimente. Din acest motiv se construieste un model matematic pentru o astfel de clasa, care se numeste schema de probabilitate. Pentru o astfel de schema se determina formulele corespunzatoare de calcul, ce depind de anumiti parametri, formule care se aplica pentru fiecare experiment din clasa respectiva, prin particularizarea acestor parametri. In cele ce urmeaza vom prezenta principalele scheme de probabilitate cele mai de intalnite.

1. Schema lui Bernoulli (schema binomiala sau schema bilei revenite)

In urma efectuarii unei experiente poate aparea evenimentul A cu probabilitatea p, sau evenimentul contrar (A) cu probabilitatea q=1-p. Se repeta experienta de n ori in conditii identice. Probabilitatea P(n;m) ca in cele n experiente evenimentul A sa apaa de m ori este

Deoarece probabilitatea P(n;m) este coeficientul lui x^m din dezvoltarea (q+px)ⁿ acesata schema se mai numeste schema binomiala.

Schema lui Benoulli mai poate fi realizata printr-o urna cu bile de doua culori (albe si negre), se extrage pe rand cate o bila din urna, dar de fiecare data bila se pune inapoi, motiv pentru care se mai numeste schema bilei revenite (intoarse).

2. Schema bilei nerevenite

Dintr-o urna cu a bile albe si b bile negre se extrag n bile, n a+b. Probabilitatea P_a,b(a b) ca a din bilele extrase sa fie albe si b negre, a b=n, este

3. Schema lui Poisson

Se fac n experiente independente. In urma experientei de rang k poate aparea evenimentul A cu probabilitatile p_k sau evenimentul A cu probabilitatea q_k = 1- p_k. Probabilitatea p_m ca in cele n experiente evenimentul A sa apara de m ori este coeficientul lui x^m din polinomul

P(x)=(p₁x+q₁) (p₂x+q₂) (p_nx+q_n),         P(A)=p₁ p p_l q q q_m l+m=n

Variabila aleatoare.

Pana acum ne-am ocupat de aparitia sau neaparitia unor evenimente, asadar de latura calitativa a fenomenului aleator. Pentru studiul matematic al fenomenelor aleatoare este necesar ca descrierea acestora sa aiba expresii cantitative, care sa poata fi tratate din punct de vedere matematic. Aceasta expresie cantitativa este data de variabila aleatoare. Deoarece notiunea de variabila aleatoare este foarte importanta trebuie sa-i acordam o atentie deosebita. Pentru a se intelege mai bine aceasta notiune ii vom da, la inceput, o definitie intuitiva.

Numim variabila aleatoare o marime care – drept rezultat al unui experiment- poate lua o valoare oarecare, fara sa se poata preciza dinainte care anume. Adica multimea de evenimente este discreta (avem un numar finit de evenimente) vom avea o variabila aleatoare discreta, iar in caz contrar o variabila aleatoare continua. Valorile posibile ale variabilelor aleatoare disrete pot fi enumerate dinainte, spre deosebire de variabilelor aleatoare continue, care pot lua orice valoare intr-un anumit interval.

Definitia riguroasa a variabilei aleatoare este urmatoarea.

Definitie O variabila aleatoare este o functie (masurabila) definita pe multimea evenimentelor E cu valori in multimea numerelor reale.

Asa cum am amintit, daca E= avem o variabila aleatoare discreta si ea, notata cu X, ia valoarea x₁ daca se verifica evenimentu A₁ , ia valoarea x₂ daca se verifica evenimentu A₂ s.a.m.d. Fiecare din valorile x₁, x₂, . , x_n este posibila dar nici una sigura. De aceea se spune ca probabilitatea ca variabila aleatoare X sa ia valoarea x_i este p_i=P(X=x_i), unde P este functia de probabilitate definita mai sus axiomatic.

Variabila aleatoare va fi mult mai bine precizata atunci cand se cunoaste probabilitatea cu care este luata fiecare valoare.

Definitie Numim distributia sau repartitia variabilei aleatoare X, tabloul

Unde p_i sunt probabilitatile de aparitie ale vaorilor x_i, i=1,n si se mai scrie p_i = P(X= x_i) ; deci X= x_i este un eveniment.

Distributia unei variabile aleatoare X poate fi reprezentata grafic in plan, prin poligonul de repartitie, care se obtine unind printr-o linie poligonala punctele de coordonate (x_i, p_i), i=1,n ; in general pe cele doua axe se iau masuri diferite.