Estimarea parametrilor statistici - estimarea mediei

Limitele de confidenta pentru o abatere medie patratica pot fi estimate intr-o maniera similara. Pentru aceasta introducem notiunea de eroare standard a abaterii medii patratice

In  mod analog intervalele de incredere sunt date de

  cu o probabilitate de 0,682

cu o probabilitate de 0,954

cu o probabilitate de 0,997

Eseu: Control de gestiune - intrebari examen partial Referat: Procesul asigurarea calitatii - tratarea produsului neconform

Estimarea proportiilor

Formulele pentru erorile standard pot fi aplicate doar pentru a estima media si abaterea medie patratica. Sunt situatii cand avem exprimari procentuale, cum ar fi procentul de persoane care au optat pentru o anumita situatie (care au votat pentru un partid). Astfel eroarea standard pentru estimarea procentelor este :

unde p este procentul din esantion care poseda un anumit atribut, q este procentul din esantion care nu poseda acel atribut, iar n este numarul de indivizi din esantion.

Exemplu. Pe un esantion de 50 indivizi s-a evaluat ca 86% dintre acestia au televizoare (p). Procentul pentru cei care nu au televizoare (q) este de 100 – 86 = 14 (nu au fost numarati ci dedusi). Avem :

Asa cum am procedat la celelalte estimari aceasta eroare standard pote fi folosita pentru a stabili limitele de confidenta a procentului estimat al colectivitatii generale. Astfel avem :

Populatia gen % = esantion % ± E% cu probabilitate 0,682

Populatia gen % = esantion %  ±2 E% cu probabilitate 0,954

Populatia gen % = esantion %  ±3 E% cu probabilitate 0,997

Pentru exemplul de mai sus semnificatia este urmatoarea. Avem o probabilitate de 0,682 ca detinatorii de aparate TV sa fie undeva intre 81,09% si 90,91% (adica 86-4,91 si 86 + 4,91). La un nivel de confidenta de 0,954, procentele vor fi intre 76,18% si 95,82% (86-2 4,91 si 86+2

Marimea esantionului

In  cele expuse mai sus am introdus erorile standard pentru anumite marimi estimate. Acestea permit evaluarea limitelor de confidenta pe baza unor ipoteze (distributia normala a populatiei si un esantion obtinut intr-o maniera aleatoare). Pentru evaluarea efectiva a acestora trebuie sa stim doar doua lucruri : marimea (n) si abaterea medie patratica (s) a esantionului. In cele ce urmeaza vom revedea problema invers : cat de mic trebuie sa fie esantionul (n) astfel incat media si abaterea medie patratica sa aibe niste limite de confidenta specificate.

Din formula erorii pentru medie

explicitam pe n :

Ex. Daca vrem sa avem o eroare pentru medie de 0,25 si o dispersie de 2 => n = 64

Estimari provenite din esantioane mici

In  general cel care face estimari pe baza de esantioane este o persoana prudenta. Daca esantioanele sunt mici aceasta prudenta trebuie marita. Asa cum am vazut pana acum abaterea medie patratica a esantionului (s) este foarte importanta pentru stabilirea limitelor de confidenta ale mediei si abaterii medii patratice pentru colectivitatea generala. Cand se lucreaza cu esantioane mici, de 10 sau mai mici, trebuie sa adoptam niste limite de confidenta mai mari.

Astfel estimarea abaterii standard va fi inlocuita cu « cea mai buna estimare a abaterii » notata cu si care se calculeaza din formula

sau daca calculam direct din esantion

Se observa ca pentru esantioane mari aceasta valoare nu difera prea mult de s, dar pentru valori mici ale lui n aceasta diferenta poate fi semnificativa. Valoarea lui este ceva mai mare decat s si astfel limitele de confidenta vor fi mai largi. Toate calculele privitoare la erori se vor face cu si nu cu s.