Teoria probabilitatilor - studiul matematic al probabilitatilor

Teoria probabilitatilor este conform definitiei studiul matematic al probabilitatilor ; al fenomenelor caracterizate de incertitudine si intamplare si este considerata ca fiind la rascrucea dintre matematica pura si matematica aplicata.

Studiile probabilistice  prezinta un caracter net aplicativ.Astfel,in teoria probabilitatilor se construiesc o multime de modele teoretice care sunt aplicate in realitatea curenta prin intermediul statisticii matematice.

Inceputurile acestei discipline sunt legate de numele matematicienilor Blaise Pascal si Pierre Fermat in secolul XVII ,care au ajuns la probleme legate de studiul probabilitatilor datorita jocurilor de noroc, iar pornind de la acest subiect au intuit existenta unor legitati cu caracter aleator, proprii fenomenelor naturii .Intrucat stiintele naturii la acel moment nu erau suficient de dezvoltate, notiunile descoperite de cercetatorii timpului,ca de exemplu: probabilitate si speranta matematica, au fost prezentate intr-o formulare legata de aceste jocuri,mentinindu-se astfel vreme indelungata.In aceasta perioada, calculul probabilitatilor s-a bazat pe metode combinatorice; rezultate deosebite, in afara celor mentionate mai sus, sunt datorate lui J. Bernoulli in lucrarea: "Ars conectandi"(1713).

Metodele probabilistice sunt utilizate in probleme de populatie, probleme militare si in stiintele naturii(fizica ,biologie etc.).Pentru aplicarea calculului probabilitatilor in aceste stiinte, metodele combinatorice devin insuficiente si se trece la introducerea metodelor analitice . Un rol important in fundamentarea acestor metode au : Laplace, Moiver, Gause, Cebisev, Markov, Liapunov.

In viata de zi cu zi se intilnesc cu regularitate experimente ale caror rezultate apartin unei multimi. Cu alte cuvinte este vorba de experimente care atunci cand sunt realizate pot avea rezultate diferite, in functie de o serie de circumstante intamplatoare care nu pot fi cunoscute inaintea realizarii lor.Astfel de experimente sunt cunoscute sub numele de experimente aleatoare.

Teoria probabilitatilor  are ca notiuni primare evenimentul atasat unui experiment aleator si probabilitatea ca un astfel de eveniment sa aiba loc.Un eveniment poate fi privit ca o conjunctura asupra rezultatelor unui experiment aleator, iar probabilitatea unui eveniment ca un numar reprezentand sansa pe care o are evenimentul de a se realiza.

Deoarece necesitatile practice in care apar aspecte si probleme cu caracter aleator au impus abordarea problemelor probabilistice cu o infinitate de evenimente, s-a cautat extinderea notiunii de probabilitate in acest sens.De asemenea, se concretizeaza notiunile de variabila aleatoare si proces aleator, iar pe plan teoretic se fundamenteaza "legea numerelor mari" si diferite teoreme de limita.

In urma numeroaselor studii si activitati complete realizate in domeniile mai sus amintite, s-a observat ca exista o strinsa legatura intre frecventa de aparitie a unui eveniment si probabilitatea sa teoretica, in sensul ca frecventa odata cu cresterea numarului de experiente, i-a valori apropiate de probabilitate. Plecand de la acest fapt s-au stabilit o serie de teoreme intre frecventa statistica relativa si probabilitatea teoretica.

In studiile realizate, o problema care aparea era faptul ca realizarea unui numar considerabil de experiente cerea, in unele situatii, perioade de timp indelungate si implicit obtinerea rezultatelor pentru analize dura mult.Metoda experimentelor aleatorii s-a dezvoltat rapid incepand cu anii 1940 datorita dezvoltarii rapide a calculatoarelor si a capacitatii computationale a acestora, deci a fost mult usurata posibilitatea executarii experimentelor aleatorii intr-un numar mult superior si in intervale de timp considerabil reduse, iar conditiile in care se efectuau conservau in totalitate conditiile reale.

Analiza: Simboluri chimice - element chimic se numeste simbol chimic Referat: Determinarea energiei de activare Arrhenius - reactia tiosulfatul de sodiu cu acidul sulfuric

Atasam numarul natural acestei experiente si obtinem urmatorul tabel de repartitie :

cunoscut sub numele de legea geometrica.

Teorema 2.2. Daca f este o variabila aleatoare discreta, atunci functia de repartitie curespunzatoare  este data prin formula

Demonstratie Daca atunci conform formulei avem caci Daca , atunci

deci

.

Daca  , atunci

Fiindca in acest caz

3. Variabile aleatoare continue

Fie o algebra de evenimente cu evenimentul sigur , o probabilitate aditiva , o variabila aleatoare reala , iar pentru orice functia de repartitie asociata variabilei aleatoare reale .

Definitia 3.1. Variabila aleatoare reala f se numeste variabila aleatoare reala continua, daca admite densitate de probabilitate , adica daca exista o functie numita densitate de probabilitate astfel incat pentru orice 

Exemplul : Sa se afle constanta reala astfel incat functia  sa fie o densitate de probabilitate. Sa se determine functia de repartitie corespunzatoare. Sa se calculeze probabilitatea unde f este variabila aleatoare reala continua cu densitatea de probabilitate

Conform definitiei 6.4.1. Legea numerelor mari.

Legea numerelor mari a fost initial descrisa de Jacob Bernoulli.Acestuia i-au trebuit 20 de ani doar ca sa adune dovezi riguroase , pe care le-a publicat in Ars Conjectandi in 1713.La distanta de peste 100 de ani , in 1835 subiectul este continuat si tratat de catre matematicianul francez S.D. Poisson sub numele de "La loi des grande nombres".Dupa eforturile publicate ale celor doi , alti mari matematicieni au contribuit la rafinarea legii , printre acestia ii enumeram pe Cebisev , Markov , Borel , Cantelli sau Kolmogorov.

Din studiile acestora au rezultat doua forme proeminente ale Legii numerelor mari :

1. Forma slaba a Legii numerelor mari
2. Forma tare a Legii numerelor mari

In continuare , in ceea ce priveste lucrarea, aceasta cuprinde trei capitole:

Primul capitol cuprinde notiuni introductive din teoria probabilitatilor: algebra de evenimente,probabilitatea conditionata, scheme de probabilitate, variabile aleatoare, functia de repartitie, caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare reale, inegalitati probabilistice, tipuri de convergenta, notiuni de baza necesare capitolelor urmatoare.

Capitolul al doilea dezbate pe larg, sub forma unor teoreme si demonstratii, consecinte ale acestor teoreme Legea numerelor mari.

In capitolul al treilea sunt prezentate cateva aplicatii referitoare la aceasta lucrare.