Variabile aleatoare si vectori aleatori

1 Variabile aleatoare

Fie si doua -algebre, cu evenimente sigure respectiv , luate in stil ansamblist.

Definitia 1.1 O functie se numeste variabila aleatoare, daca pentru orice eveniment , contraimaginea acestui eveniment .

Teorema 1.1 Daca este o variabila aleatoare atunci au loc egalitatile:

i)  ,

ii ,

iii ,

adevarate pentru orice familie de evenimente , si orice eveniment .

Teorema 1.2 este o algebra.

Demonstratie :

i)            daca alegem cu , atunci , fiindca este o algebra.

ii)          daca cu un sistem de evenimente , atunci deoarece este o algebra avem , deci

2 Variabile aleatoare reale

Definitia 2.1 Cu alegerea si ( familia multimilor boreliene) variabila aleatoare se numeste variabila aleatoare reala.

Prin urmare functia se numeste variabila aleatoare reala, daca pentru orice multime boreliana .

Fie o -algebra , iar o functie.

Teorema 2.1 ( teorema de caracterizare a variabilelor aleatoare reale )

Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i) este o variabila aleatoare reala ,

ii) pentru orice avem ,

iii)        pentru orice avem ,

iv)        pentru orice avem ,

v)          pentru orice avem .

Teorema 2.2 Daca sunt variabile aleatoare, atunci sunt tot variabile aleatoare reale cu .

Definitia 2.2 O variabila aleatoare reala pentru care si se numeste functie boreliana.

Teorema 2.3 Daca functia este o functie boreliana si este o variabila aleatoare reala, atunci functia este tot o variabila aleatoare reala.

3 Vectori aleatori reali

Pentru a extinde notiunea de variabila aleatoare la notiunea de vector aleator avem nevoie in prealabil de extinderea notiunii de multime boreliana, definita pe axa reala la spatiul Euclidian n dimensional cu

Fie o -algebra de evenimente avand pe evenimentul sigur, iar variabile aleatoare reale.

Definitia 3.1 Functia , data prin formula pentru orice , se numeste vector aleator dimensional

Fie o algebra de evenimente avand pe evenimentul sigur , iar n variabile aleatoare reale.

Definitia 3.1 Functia , data prin formula pentru orice , se numeste vector aleator n dimensional .

Teorema 3.1 ( teorema de caracterizare a vectorilor aleatori reali)

Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i) este un vector aleatoriu real n dimensional;

ii) pentru orice avem

;

i)            pentru orice avem

;

ii)          pentru orice avem

;

iii)        pentru orice avem

.

Teorema 3.2 Urmatoarele afirmatii sunt echivalente;

i)            functia este un vector aleatoriu real n dimensional;

ii)          pentru orice functiile sunt variabile aleatoare reale.