Metode de fundamentare a deciziilor

METODE DE FUNDAMENTARE A DECIZIILOR

1. Elemente fundamentale in elaborarea hotararilor

In conditiile interactiunii cu mediul, unele obiecte sunt identificate ca susceptibile de a satisface anumite trebuinte ale omului. Altele, dimpotriva, se opun satisfacerii acelorasi trebuinte. Obiectele din prima categorie determina o reactie de apropiere, iar cele din a doua categorie o reactie de indepartare. Insusirile obiectelor de a satisface anumite trebuinte poarta denumirea de valente. Acestea pot fi pozitive sau negative. Valentele nu reprezinta insusiri in sine ale obiectelor, ele derivand din utilitatea pe care individul o atribuie obiectelor. De exemplu, un obiect poate avea valente diferite nu numai pentru indivizi diferiti, ci chiar pentru acelasi individ de la un moment la altul. De aceea, modul in care utilitatea determina valentele si, de aici insasi deciziile, constituie un important obiectiv asupra deciziei.

Pozitia lui Immanuel Kant[1] constituie un moment important in istoria notiunii de utilitate. Printre altele, exista in conceptia sa un element care, reflectandu-se si astazi in teoria deciziilor, prezinta interes nu numai din punct de vedere istoric. Este vorba de conceptul de datorie. In actul deciziei utilitatea poate interveni, separat sau simultan, sub doua forme: ca element subiectiv, deci ca utilitate propriu-zisa, dar si ca element obiectiv, sub forma de valoare, expresie a consensului social. Ori, actualul termen de valoare este strans inrudit, cel putin formal, cu conceptul de datorie al lui Kant.

Daniel Bernoulli da urmatorul exemplu pentru intelegerea diferentei dintre notiunea de utilitate si cea de valoare: presupunem ca un cersetor gaseste un bilet de loterie cu care el poate castiga cu o egala probabilitate douazeci de mii de unitati monetare sau nimic. Va fi considerat cersetorul neinteligent, irational, daca va vinde biletul pentru zece mii de unitati monetare, castig sperat? Nu. Valoarea biletului este de 20000 u.m. sau de 0 u.m., in timp ce, pentru cersetor, utilitatea acestuia este de 10000 u.m.

Un alt moment al acestei evolutii il constituie elaborarea principiului utilitatii de catre J. Bentham. El ii da urmatoarea formulare, care a devenit larg cunoscuta: "Natura a plasat omenirea sub dominarea a doi stapani supremi, suferinta si placerea. Numai lor le revine rolul de a arata ceea ce am putea sa facem, ca si pe acela de a determina ceea ce trebuie sa facem. Pe de o parte masura a ceea ce este just sau gresit, iar pe de alta parte lantul cauzelor si efectelor sunt legate de tronul lor. Ele ne dirijeaza in tot ceea ce facem, in tot ceea ce spunem, in tot ceea ce gandim: orice efort am face pentru a inlatura supunerea noastra nu va servi decat s-o demonstreze si s-o confirme . Principiul utilitatii recunoaste aceasta supunere si o preia ca baza a acelui sistem care are ca scop sa asigure crearea fericirii cu ajutorul ratiunii si al legii". Totusi, din punct de vedere al teoriei moderne a deciziei, prezinta interes incercarea lui Bentham de a elabora unele metode de determinare cantitativa a utilitatii, cu scopul de a calcula, cu ajutorul unui "buget moral", sensul optim al conduitei morale.

Aparitia lucrarii "Theory of Game and Economic Behaviour" a lui von Neumann si Morgenstern[2] a trezit un nou interes pentru conceptul de utilitate a lui Bernoulli si a formulat o multime de axiome ce ne dau posibilitatea folosirii unei scari, (scara de utilitate) pentru masurarea preferintelor decidentului D. Aceasta scara este astfel definita incat daca D alege o alternativa cu utilitatea cea mai mare, el va actiona in conformitate cu preferinta lui.

Bazati pe axiomele amintite se arata existenta unei functii de utilitate cu valori in multimea numerelor reale, care are urmatoarele proprietati:

daca x₁ si x₂ sunt consecintele a doua moduri de actiona distincte, atunci x₁ este preferat lui x₂ daca si numai daca U(x₁)>U(x₂) unde U este functia de utilitate;

daca X^' este o mixtura probabilistica a x₁ si x₂, X^'=[px₁+(1-p)x₂], p reprezentand o probabilitate, iar X^'' este o consecinta indiferenta lui X^' atunci putem scrie:

U(X^'')=pU(x₁)+(1-p)U(x₂)     (1.)

daca functia de utilitate U poseda proprietatile 1) si 2), atunci ea poate suferi o transformare liniara, pozitiva:

U=Ax+B                         (2.)

unde U este utilitatea, x este consecinta, A si B sunt constante.

Pentru calculul efectiv al utilitatii vom folosi urmatoarele notatii[3]:

U_ij este utilitatea variantei V_i dupa criteriul C_j;

V₁ este varianta cu utilitate maxima (U=1);

V₀ este varianta cu utilitate minima (U=0);

V_i este varianta i, unde i=1 m

C_j este criteriul j, unde j=1 n

este consecinta cea mai favorabila pentru criteriul j;

este consecinta cea mai putin favorabila pentru criteriul j.

Determinarea constantelor A si B se face astfel:

- in cazul in care utilitatea unei variante este maxima (U=1), ecuatia (2.) are urmatoarea forma:

   ()

- in cazul in care utilitatea unei variante este minima (U=0), ecuatia (2.) se va transforma:

              (4.)

Din relatiile () si (4.), constantele A si B se determina prin rezolvarea sistemului de ecuatii cu doua necunoscute:

                        (5.)

Obtinem astfel:

si .

In aceste conditii, utilitatea U_ij are urmatoarea expresie:

                       (6)

Alti autori folosesc pentru calculul utilitatii si procedeul transformarii liniare. In acest caz se folosesc relatiile:

si (7.)

In cazul deciziilor dupa mai multe criterii, se impune adesea ierarhizarea fiecarui criteriu dupa importanta lui intr-o anumita etapa de dezvoltare a organizatiei. Criteriile se pot ierarhiza prin acordarea de catre decident a unor coeficienti de importanta (K_j) care iau valori intre 0 si 1. Suma coeficientilor de importanta acordanti pentru toate criteriile luate in consideratie este egala cu 1:

(8.)

Prin urmare, atat utilitatile cat si coeficientii de importanta iau valori pozitive subunitare.

Observatie: Sunt autori care nu pun conditia (8.) - ceea ce justifica introducerea unor termeni in anumite formule - si folosesc urmatoarea metoda de determinare a coeficientilor de importanta:

se intocmeste un tabel de tipul:

Tabelul 1 - Determinarea coeficientilor de importanta

Elementul I_ij se defineste astfel: I_ij ia valoarea 0 daca criteriul i este mai putin important decat criteriul j, valoarea 0,5 daca este la fel de important si 1 daca este mai important decat criteriul j.

nivelul de importanta se stabileste cu formula:

Valoarea cea mai mare a nivelului de importanta reprezinta locul I in ierarhie, iar valoarea cea mai mica ultimul loc;

coeficientul de importanta:

(9.).

In cele ce urmeaza, vom utiliza pentru calculul utilitatilor formula (6.), iar pentru coeficientii de importanta voi folosi relatia (8.) si vom compara pe exemplul de mai jos rezultatele obtinute prin metodele de abordare pentru calculul utilitatilor si pentru determinarea coeficientilor de importanta.

Studiu de caz: O tara R se hotaraste sa achizitioneze un avion de lupta dintr-o alta tara S. Serviciile specializate ale tarii R au stabilit cinci criterii de apreciere a performantelor celor patru tipuri de avioane oferite de tara S. Aceasta furnizeaza datele necesare in tabelul 2.

Criteriile decizionale sunt:

C₁ - viteza maxima, exprimata in numarul Mach;

C₂ - autonomia de zbor, exprimata in km;

C₃ - cantitatea de munitie de lupta pe care o poate transporta, exprimata in tone;

C₄ - numarul de oameni necesari pentru conducerea avionului in lupta-personal navigant si nenavigant;

C₅ - manevrabilitatea avionului, exprimata in calificative (notele corespunzatoare).

Tabelul 2 - Criterii decizionale

2. Elaborarea deciziilor multicriteriale[4] in conditii de certitudine

Desigur, daca am fi dorit sa prezentam deciziile in ordinea dificultatii lor, ar fi trebuit sa incepem cu deciziile monocriteriale. Consideram, insa, ca acest demers nu este foarte important pentru ca, in cazul deciziilor monocriteriale, nu avem nevoie de niste tehnici speciale atunci cand trebuie sa luam o hotarare. In functie de criteriul considerat, alegem varianta care ne aduce castigul cel mai mare.

Dificultatea deciziilor multicriteriale cuprinde mai multe aspecte. In primul rand, trebuie sa stabilim care criterii vor fi avute in vedere astfel incat sa fie acoperita intreaga problematica a situatiei decizionale. In al doilea rand, criteriile selectate pot fi contradictorii. De exemplu, cresterea cantitatii de munitie transportate de un avion determina scaderea vitezei maxime de zbor, ceea ce nu este de dorit caci avionul devine astfel mai vulnerabil atacurilor inamice. In al treilea rand, asa cum am anticipat deja, criteriile pot avea importante diferite, exprimate prin coeficienti de importanta sau consecintele variantelor dupa diferitele criterii nu sunt exprimate in aceeasi unitate de masura, ceea ce necesita introducerea utilitatilor. Acestea nu sunt decat cateva din dificultatile ridicate de deciziile multicriteriale.

Vom prezenta in continuare cateva principii si tehnici de optimizare a deciziilor multicriteriale, mai putin analizate in literatura autohtona, dar care isi pot demonstra utilitatea, mai ales in faza alcatuirii variantelor decizionale (presupunand ca acestea nu sunt date), cand numarul lor este mare si ingreuneaza foarte mult munca decidentului. Ele sunt, deci, folosite pentru a cerne variantele decizionale nedorite, (nevalide).

Metoda dominantei

Logica si principiul de baza: O alternativa este dominata daca exista o alta alternativa care o depaseste (surclaseza) pe prima, pentru unul sau mai multe criterii si le egaleaza pe celelalte.

Procedura: Se compara primele doua alternative. Daca una este dominata de cealalta, atunci se elimina alternativa dominata. Urmatoarea etapa compara alternativa ramasa in postura de concurenta cu o a treia alternativa. Dupa aceeasi logica, se elimina alternativa dominata etc. Dupa m-1 etape, multimea nedominata este determinata, ramanand o singura alternativa sau mai multe alternative indiferente (acesta fiind un prim dezavantaj). Un al doilea dezavantaj consta in faptul ca unele alternative eliminate pot fi, in realitate, mai bune in ansamblu decat alternativele dominante.

Metoda conjunctiva

Logica si principiul de baza: o alternativa care nu atinge nivelul minim acceptabil pentru toate atributele va fi respinsa.

Restrictie: trebuie stabilit un nivel minim acceptabil pentru fiecare criteriu.

Procedura: Decidentul stabileste un nivel minim acceptabil pentru fiecare criteriu. De exemplu: avionul dorit de tara R trebuie sa aiba o viteza maxima de cel putin 3 Mach, o autonomie de cel putin 4.000 km etc. Pentru fiecare alternativa determinam daca depaseste nivelul minim. Daca da, ea va fi retinuta ca acceptabila, daca nu, va fi respinsa. Se observa ca avioanele de tipul V₂ si V₄ vor fi respinse.

Dezavantaj: o alternativa candidata cu exact numai un singur criteriu indezirabil va fi respinsa, chiar daca aceasta alternativa are valori ridicate pentru toate celelalte consecinte ale criteriilor. Cu alte cuvinte, diferentele intre criterii nu pot fi compensate intre ele.

Metoda lexicografica

Logica si principiul de baza: in unele situatii decizionale, un singur criteriu pare a fi determinant, alternativele comparandu-se in ordinea importantei criteriilor.

Restrictie: criteriile trebuie sa fie ierarhizate in functie de importanta criteriilor.

Procedura: Se compara toate alternativele in functie de cel mai important criteriu. Se selecteaza alternativa cu cea mai favorabila consecinta pentru acest criteriu. Daca avem doua sau mai multe alternative selectate, acestea se vor compara in functie de al doilea criteriu ca importanta din ierarhie si se selecteaza alternativa cu consecinta cea mai favorabila pentru acest al doilea criteriu etc.

Dezavantaje: diferentele intre atribute nu se compenseaza.

Alternativa: metoda semiordonarii lexicografice - in unele situatii decizionale, un singur atribut pare sa domine, dar permite o discriminare, astfel ca o alternativa nu este evaluata mai bine numai pentru ca ea are o valoare putin mai mare privind atributul predominant.

Metoda repartizarii alocarii liniare

Logica si principiul de baza: o alternativa care are multe criterii considerate superioare va fi si ea considerata superioara.

Procedura: se ierarhizeaza alternativele pentru fiecare atribut. Se repartizeaza o pondere de importanta la fiecare atribut. Se creeaza o matrice patratica de tipul m m nenegativa al carui element p_ik reprezinta scorul unei alternative V_i pentru criteriul aflat pe locul k in ierarhia stabilita.

Dezavantaje: diferentele cardinale reale intre alternative pentru fiecare criteriu nu sunt luate in considerare. Astfel, o alternativa considerata prima pentru un criteriu ar putea avea un scor cardinal de 100, iar o alta considerata a doua ar putea avea un scor de 94. Pentru un alt criteriu, o alternativa socotita prima poate avea scorul 100, in timp ce cea de pe locul doi are numai 50.

Multe din dezavantajele acestor metode sunt rezolvate de metodele urmatoare:

Metoda utilitatii globale

Tabelul 3 cuprinde forma generala a consecintelor, dupa calculul utilitatilor, pentru optimizarea unei decizii dupa mai multe criterii.

Tabelul 1 - Forma generala a consecintelor

Exista doua alternative ale acestei metode:

Alternativa 1 este caracterizata prin faptul ca toti coeficientii de importanta sunt egali. Pentru fiecare varianta decizionala se calculeaza suma utilitatilor pentru fiecare criteriu:

(10.)

Este aleasa ca varianta optima acea varianta pentru care suma utilitatilor este maxima.

    (11.)

Alternativa 2 este caracterizata prin faptul ca sunt diferiti coeficientii de importanta ai criteriilor decizionale. Se calculeaza pentru fiecare varianta decizionala suma produselor dintre utilitatea fiecarui criteriu avut in vedere si coeficientul de importanta al acestuia:

           (12.)

Se alege ca varianta optima acea varianta decizionala pentru care suma produselor dintre utilitati si coeficientii de importanta este maxima

                                (1)

Exemplu Tabelul 3 se completeaza astfel:

Alternativa 1:

Tabelul 2 - Coeficientii de importanta maxima

Elementul U₁₁ a fost calculat astfel:

Pentru calculul utilitatilor dupa criteriul C₅ (unde se lucreaza cu calificative) s-a folosit urmatoarea metoda: pentru calificativul cel mai slab (S) s-a dat utilitatea 0, iar pentru calificativul cel mai bun (FB) utilitatea acordata a fost 1. Calificativul B se gaseste la egala distanta intre S si FB, de aceea a primit utilitatea 0,5.

Fig. 1- Calculul utilitatilor

Tabelului 1. ii vom mai adauga o coloana (coloana ) si vom determina pe coloana maximul sumei .

Tabelul 3 - Calculul coeficientilor de importanta

Se observa ca varianta optima este V

Observatie: Numai pentru aceasta situatie voi determina varianta optima utilizand pentru calculul utilitatilor formulele (7.).

Tabelul 3 arata astfel:

Tabelul 4 - Calculul coeficientelor de importanta

Facand precizarea ca pentru criteriul C₅ calificativele au fost transformate in utilitati tinand cont de notele corespunzatoare calificativelor, observam ca varianta optima ramane V

Alternativa 2:

Consideram urmatori coeficienti de importanta: K₁=0,32 K₂=0,16 K₃=0,08 K₄=0,12 K₅=0,32. Atunci:

Tabelul 5 - Calculul coeficientilor de importanta

Si in acest caz varianta optima este V In schimb, se observa ca varianta V₄ a surclasat varianta V₁.

Metoda ELECTRE

Potrivit acestei metode de luare a deciziei multicriteriale, trebuie parcurse urmatoarele etape:

etapa I: calculul utilitatilor variantelor pentru fiecare criteriu si atribuirea coeficientilor de importanta, procedandu-se exact la fel ca in metoda utilitati globale si rezultand un nou tabel 3;

etapa a II-a: calculul coeficientului de concordanta a alternativelor decizionale:

          (14.)

unde:  c(V_g, V_h) este coeficientul de concordanta intre varianta g si varianta h:

se face pentru acei j pentru care U_gj U_hj.

Coeficientul de concordanta arata cu cat varianta V_g depaseste varianta V_h. In urma acestor calule, se alcatuieste matricea coeficientilor de concordanta pentru toate variantele decizionale avute in vedere, conform tabelului de mai jos:

c(V_g, V_h)                                    

Tabelul 6 - Matricea coeficientilor de concordanta

etapa a III-a: calculul coeficientilor de discordanta dupa formula:

[5]

unde:  d(V_g, V_h) este coeficientul de discordanta intre varianta V_g si V_h

E este ecartul maxim intre valorile utilitatilor minima si maxima (de obicei ia valoarea 1).

Coeficientul de discordanta arata cu cat varianta V_g este depasita de varianta V_h. Dupa efectuarea calculelor se alcatuieste matricea coeficientilor de discordanta conform Tabelului 5.

d(V_g, V_h)                                                            Tabelul 7 - Matricea coeficientilor de discordanta

etapa a IV-a: surclasarea variantelor si alegerea variantei optime pe baza constructiei grafului corespunzator. Acest graf se realizeaza astfel:

se deseneaza prin puncte distincte variantele decizionale;

se stabileste max c(V_g, V_h) si min d(V_g, V_h);

se noteaza in ordine descrescatoare valorile coeficientilor de concordanta;

se noteaza in ordine crescatoare valorile coeficientilor de discordanta;

se intocmeste tabelul:

Tabelul 8 - Valorile coeficientilor de discordanta

se stabileste initial p=max c(V_g, V_h) si q=min d(V_g, V_h). In cazul cand sunt satisfacute simultan relatiile de mai jos:

c(V_g, V_h) p

d(V_g, V_h) q

atunci varianta g surclaseaza varianta h, iar in graful atasat matricei se traseaza un arc orientat de la V_g la V_h;

in continuare se diminueaza valoarea lui p si se mareste valoarea lui q, desenandu-se de fiecare data graful, pana cand o varianta le surclaseaza pe toate celelalte. Varianta optima este cea care le surclaseaza pe toate.

Limita metodei ELECTRE consta in faptul ca, pentru coeficientul de concordanta, calculul se face functie de coeficientii de importanta ai criteriilor, in timp ce coeficientul de discordanta se calculeaza pe baza utilitatii variantelor. Aceasta inseamna ca nu exista o baza omogena de apreciere a devansarii unei variante fata de alta.

Exemplu

Etapa I:

Tabelul 9 - Calculul coeficientilor de discordanta

Etapa a II-a:

c(V_g, V_h)                                                 Tabelul 10 - Calculul coeficientilor de discordanta

unde: c(V₁,V₂)=0,32+0,16+0,08=0,56

c(V₃,V₁)=0,32+0,08+0,44=0,84 etc.

Etapa a III-a:

d(V_g, V_h)                                                            Tabelul 11 - Calculul coeficientilor de discordanta

Elementul d(V₁, V₃) a fost calculat astfel:

d(V₁, V₃)

Etapa a IV-a:

Pentru determinarea variantei optime, vom utiliza urmatorul artificiu:

completam urmatorul tabel:

Tabelul 12 - Determinarea variantei optime

vom da lui p valoarea maxima pe care o ia min c(V_g,V_h), respectiv p=0,56 iar lui q valoarea corespunzatoare pe linie, respectiv q=0,5. Vom desena graful corespunzator acestor valori:

Deci, varianta optima este tot V

Observatie: utilizand artificiul, vom obtine doar varianta optima nu si o ierarhie a variantelor, ceea ce poate constitui un dezavantaj.

Pentru eliminarea limitelor acestei metode, Gh. Gh. Ionescu[6] propune in lucrarea "Modelarea si optimizarea deciziilor manageriale" mai multe variante de imbunatatire, din care vom retine numai pe ultima, considerata de autor cea mai buna. Aceasta consta in introducerea unei noi modalitati de calcul a coeficientilor de concordanta si de discordanta. In acest scop, se pleaca de la consideratia initiala ca c(V_g,V_h) este evaluarea pozitiva a variantei V_g fata de varianta V_h si d(V_g,V_h) este evaluarea negativa a acelorasi variante.

Formulele pentru cei doi coeficienti sunt:

, pentru acei j unde U_gj>U_hj; , pentru acei j unde U_gj<U_hj;

Daca U_gj=U_hj, atunci vom lua valoarea 0.

Se va calcula apoi un indicator integral de surclasare:

S(g,h)=c(V_g,V_h)-d(V_g,V_h)

si, ca urmare, intr-o matrice a preferintei se va scrie 1 la intersectia liniei V_g cu coloana V_h, daca vom avea o valoare pozitiva si 0 daca valoarea este negativa. Este evident ca vom scrie invers la intersectia liniei V_h cu coloana V_g deoarece c(V_g,V_h) devine d(V_h,V_g)si d(V_g,V_h)se schimba in c(V_h,V_g).

Dupa aceasta metoda, avem:

c(V_g, V_h)                                     Tabelul 13 - Matricea preferintei

Elementul c(V₁, V₂) a fost calculat astfel:

d(V_g, V_h)                                                            Tabelul 14 - Matricea preferintei

Matricea preferintei este:

Tabelul 15 - Matricea preferintei(2)

Se observa ca ierarhia variantelor decizionale, in ordine descrescatoare, este: V₃, V₄, V₂ si V₁. Prin urmare, varianta optima este tot V

Metoda Onicescu

Aceasta metoda are si ea doua variante de aplicare.

Varianta 1 are urmatoarele etape:

etapa I: stabilirea matricelor consecintelor variantelor decizionale, notata cu A:

Tabelul 16 - Matricea consecintelor

etapa a II-a: ordonarea variantelor pentru fiecare criteriu in ordine descrescatoare a consecintelor, de sus in jos, obtinandu-se o noua matrice notata cu B:

Tabelul 17 - Ordonarea variantelor

etapa a III-a: elaborarea matricei C ale carei elemente arata de cate ori o alternativa i ocupa locul j.

Tabelul 18 - Matricea consecintelor

unde c_ij arata de cate ori varianta i se regaseste pe linia i a matricei B.

etapa a IV-a: ierarhizarea variantelor dupa o functie de agregare de forma:

Varianta optima este aceea pentru care functia de agregare are valoarea maxima:

Varianta 2 are, de asemenea, mai multe etape, primele doua - determinarea matricelor A si B - fiind asemanatoare celor de la varianta 1.

etapa a III-a: atribuirea coeficientului de importanta pentru fiecare criteriu, dupa relatia:

,               j=1, . ,n

unde k este o constanta care poate lua urmatoarele valori:

k=1 pentru criteriul considerat cel mai important;

k=2 pentru criteriul considerat al doilea ca importanta;

k=3 pentru criteriul considerat al treilea ca importanta;

Tabelul 18 - Atribuirea coeficientului de importanta

etapa a IV-a: ierarhizarea variantelor dupa functia de agregare de mai jos:

unde: - p_j este coeficientul de importanta al criteriului j;

- loc (V_i,C_j) este locul variantei i dupa criteriul j, adica numarul liniei pe care este varianta V_i in coloana j a matricei B.

- dupa ce se calculeaza functia de agregare pentru fiecare varianta in parte, se poate stabili care este varianta optima, ca fiind varianta cu valoarea cea mai mare:

Exemplu

Varianta 1

etapa I: matricea A

Tabelul 19 - Matricea A

etapa a II-a: matricea B

Tabelul 19 - Matricea B

etapa a III-a: matricea C:

Tabelul 20 - Matricea C

etapa a IV-a:

f(V₂)=20/16, f(V₃)=28/16, f(V₄)=12/16

prin urmare, variantele sunt ierarhizate astfel: V₃>V₂>V₁>V₄, iar varianta optima este V

Varianta 2

etapa a III-a: Consideram ca ierarhizarea criteriilor este urmatoarea: C₅>C₁>C₂>C₄>C Constantele k iau urmatoarele valori: k₅=1, k₁=2, k₂=3, k₄=4, k₃=5.

Tabelul 21 - Atribuirea coeficientilor de importanta

etapa a IV-a:

, ,

In aceasta situatie, ierarhia este: V₂>V₃>V₁>V₄, cu varianta optima V₂! Daca se considera ca C₁>C₅, atunci ierarhia variantelor decizionale este: V₃>V₂>V₁>V₄, varianta optima fiind "vechea" V Deci este recomandat ca ierarhizarea variantelor decizionale sa se faca foarte exact.

Elaborarea deciziilor multicriteriale in conditii de risc

Conducerea sistemelor militare in timp de pace si, mai ales, in timp de razboi, este influentata, sub raportul eficientei, de o multime de factori care nu se afla sub controlul deplin al decidentilor, ceea ce amplifica ponderea deciziilor luate in conditii de risc si incertitudine, iar rationalizarea lor impune folosirea unor tehnici adecvate acestor conditii.

1 Metoda sperantei matematice

Situatia decizionala este caracterizata prin existenta mai multor stari ale conditiilor obiective a caror probabilitate de aparitie se cunoaste. Fiecarei stari ii corespund mai multe criterii de decizie, conform tabelului 22.

Tabelul 22 - Criterii de decizie

unde: - C_k^* este criteriul sinteza pentru starea conditiilor obiective k, pentru k=1, . , s

- U_ik este utilitatea sinteza a variantei i in starea conditiilor obiective k;

- U_ijk este utilitatea variantei i dupa criteriul j in starea conditiilor obiective k.

Pentru calculul lui U_ik folosim formula:

,        k=1, . , s si i=1, . , m

Varianta optima se determina cu formula:

4. Elaborarea deciziilor multicriteriale in conditii de incertitudine

In conditii de incertitudine, decidentul se confrunta cu doua mari dificultati: nu cunoaste probabilitatea de aparitie a starilor conditiilor obiective si faptul ca variabilele cu care lucreaza sunt partial necontrolabile.

In aceste situatii, alegerea variantei optime se face dupa cateva reguli, precum si prin folosirea metodei gradelor de apartenenta la varianta optima.

a) Regula pesimista (Abraham Wald) presupune ca varianta optima este aceea pentru care se obtin cele mai mari avantaje in conditiile obiective cele mai nefavorabile. Practic, se aplica principiul minimax in care varianta optima se stabileste cu relatia:

unde U_ij reprezinta utilitatea (consecinta) variantei i in starea conditiilor obiective j.

Potrivit relatiei de mai sus, se vor alege utilitatile minime pentru fiecare varianta, dintre care se va alege utilitatea maxima care va desemna varianta optima.

Exemplu: consideram valorile utilitatilor sinteza din Tabelul 23 la studiul de caz folosit pentru prezentarea metodei sperantei matematice.

Aplicand regula pesimista, varianta optima se determina astfel:

V_opt=max=2,3

Deci varianta optima este V₁.

b) Regula optimista consta in aplicarea principiului maximax, varianta optima fiind acea pentru care se obtin cele mai mari avantaje in cea mai favorabila stare a conditiilor obiective. Relatia de determinare a variantei optime este:

.

Practic, se aleg utilitatile maxime ale tuturor variantelor, din care se va alege utilitatea maxima, care va determina varianta optima.

Exemplu: aplicam aceasta regula utilizand datele din Tabelul23:

V_opt=max=2,86

Deci varianta optima este V

c) Regula optimalitatii (Leonid Hurwics) recomanda alegerea variantei optime dupa cum maximizeaza relatia:

unde: a este un coeficient ales de catre decident cu valori in intervalul [0, 1]. Daca este aproape de 1, decidentul este mai optimist si invers:

- este utilitatea maxima a variantei i si ;

- este utilitatea minima a variantei i .

Exemplu: utilizam datele din Tabelul 2 Luam pentru a valoarea 0,6 si obtinem urmatoarele rezultate:

f(V₁)=0,6

f(V₂)=0,6

f(V₃)=0,6

f(V₄)=0,6

Rezulta ca varianta optima este V

d) Regula proportionalitatii (Bayes Laplace), conform careia varianta optima este aceea pentru care media utilitatilor este cea mai mare sau media consecintelor este cea mai favorabila, adica:

Exemplu

Deci varianta optima este V₁.

e) Regula minimizarii regretelor (Savage) presupune ca varianta optima este aceea pentru care regretul de a nu fi ales varianta optima este minim. Regretul exprima diferenta unei variante oarecare fata de varianta optima in cadrul fiecarei stari a conditiilor obiective si se stabileste astfel:

pentru i=1, . , m si j=1, . , n.

Dupa stabilirea regretelor, acestea se trec intr-un tabel si varianta optima va fi aceea pentru care regretul maxim este minim, adica:

.

Exemplu: Consideram datele din tabelul 24 de mai jos:

Matricea regretelor este:

Tabelul 24 - Matricea regretelor

V_opt=min=0,3 deci V_opt=V

In functie de starea decidentului, adica daca acesta este mai optimist sau mai pesimist, daca doreste sau nu sa-si minimizeze regretul, se poate opta pentru una sau alta din regulile prezentate.

f) Metoda gradelor de apartenenta la varianta optima

Aceasta metoda are la baza teoria multimilor vagi si comporta urmatoarele etape:

etapa I: formularea variantelor decizionale, consecintelor acestor variante si alegerea criteriilor de optimizare. Consecintele pentru fiecare criteriu si varianta decizionala se prezinta in termeni vagi intr-o matrice de forma celei de mai jos:

Tabelul 25 - Matricea gradelor de apartenenta

unde a_ij este consecinta variantei i dupa criteriul j.

etapa a II-a: calculul utilitatii fiecarei consecinte dupa formula:

unde am folosit notatiile:

Rezulta astfel matricea utilitatilor, care se noteaza cu U.

etapa a III-a: stabilirea gradului de apartenenta a fiecarei variante la varianta optima, pentru fiecare criteriu de optimizare.

Gradul de apartenenta la varianta optima pentru fiecare utilitate U_ij se calculeaza dupa relatia:

unde e este constanta lui Euler (e=2,7), iar m_ij este gradul de apartenenta la varianta optima al variantei i pentru criteriul de optimizare j; k este coeficientul de apartenenta care are valori cuprinse in intervalul [3, 6] si este stabilit de decident functie de importanta acordata criteriilor de optimizare. Astfel, pentru criterii mai putin importante, k ia valori mai mici, iar pentru criterii mai importante k ia valori mai mari.

Dupa ce se calculeaza gradele de apartenenta pentru fiecare valoare U_ij, se alcatuieste o noua matrice cu elementele m_ij, asemanatoare ca forma matricei initiale.

etapa a IV-a: alegerea variantei optime. Se aplica tehnica proportionalitatii in matricea gradelor de apartenenta si se stabileste varianta optima cu formula:

5. Elaborarea deciziilor in grup

a) Metoda simplei majoritati

Conforma acestei metode, nu exista o regula de rationalitate universala ci numai reguli relativ aplicate in anumite conditii concrete. Astfel, daca presupunem ca trei decidenti isi exprima preferintele pentru trei variante decizionale, avem:

D₁: V₁>V₂>V₃

D₂: V₂>V₃>V₁

D₃: V₃>V₁>V₁

Aplicand regula simplei majoritati, obtinem o ordonare reprezentativa pentru grup a variantelor, astfel:

V₁ este preferata lui V₂ de doua ori (D₁ si D₃) fata de situatia in care V₂ este preferata lui V₁ o singura data (D₂);

V₁>V₂ (1)

V₂ este preferata lui V₃ de doua ori (D₁ si D₂) fata de situatia in care V₃ este preferata lui V₂ o singura data (D₃);

V₂>V₃ (2)

V₃ este preferata lui V₁ de doua ori (D₂ si D₃) fata de situatia in care V₁ este preferata lui V₃ o singura data (D₁);

V₃>V₁ (3)

Aplicand regula tranzitivitatii pentru relatiile (1) si (2) rezulta ca V₁>V₃, ceea ce contravine relatiei (3). Aceasta contradictie, care este numita paradoxul Condorcet se inregistreaza in orice situatie decizionala de grup in care sunt implicati mai mult de doi decidenti.

b) Metoda calculului majoritatii cu compunere de utilitati individuale

Tabelul 25 - Calculul majoritatii cu compunere de utilitati individuale

Utilitatea globala a variantelor se calculeaza ca suma a utilitatilor individuale. Varianta optima este aceea cu utilitatea globala maxima:

c) Algoritmul Deutch - Martin

Se considera variantele urmatoare:

Tabelul 26 - Matricea decidentilor

Se calculeaza momentele linie pentru fiecare varianta dupa relatia:

unde este momentul linie al variantei (liniei) i, iar j este numarul de ordine al decidentului.

Dupa ce se calculeaza momentul linie pentru fiecare varianta in parte se reordoneaza matricea utilitatilor asezandu-se liniile in ordinea crescatoare a momentelor linie. Apoi, pe noua matrice a utilitatilor, se calculeaza momentul coloana pentru fiecare decident in parte (adica pentru fiecare coloana a matricei in parte) dupa formula:

unde este momentul coloanei (decidentului) j, iar i este numarul de ordine al variantei.

Dupa ce se calculeaza momentele coloana pentru fiecare decident, se reordoneaza matricea, care a fost reordonata anterior dupa momentul linie, schimbandu-se ordinea coloanelor functie de ordinea crescatoare a momentelor coloana. Se repeta apoi calculele momentelor linie si coloana pana cand numai sunt posibile ordonari, adica ordinea crescatoare impusa de valorile momentelor linie si coloana este identica cu ordinea deja existenta in ultima matricea deja modificata.

d) Metoda ELECTRE tridimensionala

Aceasta metoda este folosita atunci cand decidentii au preferinte diferite asupra utilitatii variantelor. Ea comporta urmatoarele etape:

etapa I: stabilirea de catre fiecare decident a utilitatii fiecarei variante pentru fiecare criteriu. Utilitatea variantelor se stabileste ca in metoda utilitatii globale cu formula (6.). Situatia decizionala se prezinta astfel:

Tabelul 27 - Utilitatea variantelor

In continuare, etapele metodei sunt identice cu cele prezentate la ELECTRE bidimensional.

etapa a II-a: calculul coeficientului de concordanta a alternativelor decizionale:

          (14.)

unde:  c(V_g, V_h) este coeficientul de concordanta intre varianta g si varianta h

se face pentru acei j pentru care U_gj U_hj.

Coeficientul de concordanta arata cu cat varianta V_g depaseste varianta V_h. In urma acestor calule, se alcatuieste matricea coeficientilor de concordanta pentru toate variantele decizionale avute in vedere, conform tabelului de mai jos:

c(V_g, V_h)                                   Tabelul 28 - Matricea coeficientilor de concordanta

etapa a III-a: calculul coeficientilor de discordanta dupa formula:

unde:  - d(V_g, V_h) este coeficientul de discordanta intre varianta V_g si V_h

- E este ecartul maxim intre valorile utilitatilor minima si maxima (de obicei ia valoarea 1).

Coeficientul de discordanta arata cu cat varianta V_g este depasita de varianta V_h. Dupa efectuarea calculelor se alcatuieste matricea coeficientilor de discordanta.

d(V_g, V_h)                                                            Tabelul 28 - Matricea coeficientilor de discordanta

etapa a IV-a: surclasarea variantelor si alegerea variantei optime pe baza constructiei grafului corespunzator. Acest graf se realizeaza astfel:

se deseneaza prin puncte distincte variantele decizionale;

se stabileste max c(V_g, V_h) si min d(V_g, V_h);

se noteaza in ordine descrescatoare valorile coeficientilor de concordanta;

se noteaza in ordine crescatoare valorile coeficientilor de discordanta;

se intocmeste tabelul:

Tabelul 29 - Valorile coeficientilor de discordanta

se stabileste initial p=max c(V_g, V_h) si q=min d(V_g, V_h). In cazul cand sunt satisfacute simultan relatiile de mai jos:

c(V_g, V_h) p

d(V_g, V_h) q

atunci varianta g surclaseaza varianta h, iar in graful atasat matricei se traseaza un arc orientat de la V_g la V_h;

in continuare se diminueaza valoarea lui p si se mareste valoarea lui q, desenandu-se de fiecare data graful, pana cand o varianta le surclaseaza pe toate celelalte. Varianta optima este cea care le surclaseaza pe toate.