Continuitatea unei functii pe o multime

CONTINUITATEA UNEI FUNCTII PE O MULTIME

Definitie : Se spune ca o functie f:E→R este continua pe o multime AE daca este continua in fiecare punct din A.

Daca o functie este continua pe tot domeniul ei de definitie E , se spune , mai simplu , ca este continua (fara alta specificare asupra multimii pe care are aceasta proprietate) .

Functiile elementare sunt continue :

Daca P(x) este un polinom , avem :

P(x) = P(X X R

Daca f(x) = este o functie rationala si daca avem :

si (>0).

si , .

, , >0 ) si , (>0 , ) .

, ( > 0 ) .

, ( > 0 , , > 0 ) .

, , ( )

, ( , k intreg ) ,

, ( , k intreg ) .

si , ( )

si , ( ) .

Asadar , polinoamele , functiile rationale , functia radical , functia putere , functia exponentiala , functia logaritmica , functiile circulare directe si functiile circulare reciproce sunt continue ( pe tot domeniul lor de definitie ) .

Se va vedea mai departe ca si celelalte functii elementare ( care se ob

DERIVATA UNEI FUNCTII RECIPROCE

Fie I si J doua intervale oarecare . Fie f : I→J o aplicatie bijectiva strict monotona si aplicatia reciproca . Se poate demonstra .

TEOREMA

Daca f este derivabila intr-un punct x I si daca derivata sa nu se anuleaza in acest punct , f'(x) ≠ 0 , atunci functia reciproca este derivabila in punctul corespunzator y = f (x) si

Justificarea geometrica a acestei teoreme este urmatoarea :

Graficele functiilor f  si sunt simetrice fata de prima bisectoare . Deoarece functia f este derivabila in punctul x , graficul sau admite in punctul ( x , y ) tangenta , MT , neparalela cu axa Ox ( deoarece tg) ; urmeaza ca si graficul functiei reciproce admite in punctul corespunzator ( y , x ) tangenta , M' T' , neparalela cu axa Oy deci este derivabila in punctul y .

Deoarece , avem dar si sunt repectiv coeficientii unghiulari si f'(x) ai celor doua tangente , deci .

TABLOUL DERIVATELOR UNOR FUNCTII ELEMENTARE