Metoda Newton pentru sisteme de ecuatii algebrice neliniare

Metoda Newton pentru sisteme de ecuatii algebrice neliniare

Sa examinam rezolvarea sistemului de ecuatii algebrice neliniare cu doua necunoscute.

Fie un sistem de forma :

(3.1)

unde: si φ sunt functii cu derivate continui.

Presupunem ca sunt cunoscute solutii de aproximare n (x_n,y_n) a necunoscutelor, atunci solutia precisa x , y poate fi prezentata ca :

; ,

unde h_n , k_n reprezinta restul.

Atunci sistemul initial (3.1) poate fi scris intr-o alta forma :

(3.2)

Dezvoltand functii si φ in serii Teylor se obtine :

unde : , contin termeni de ordinul mai mare de unu .

Luand numai termeni liniare, adica considerand restul si ca fiind nul, rezulta un sistem de ecuatii algebrice liniare:

(3.3)

Notand :                           =a_1,1 =a_2,1

= a_1,2 = a_2,2

=b₁                          =b₂

Se obtine sistemul de ecuatii linare:

(3.4)

Aplicand regula Kramer se obtine solutia pentru restul si

;

Asadar se obtine solutie pentru sistemul de ecuatii neliniare examinat:

; (3.5)

NOTA. Metoda Newton cere ca valorile initiale aproximative x₀ , y₀ sa fiu determinate anterior, de exemplu, prin metoda grafica. Situatia aceasta limiteaza mult aplicarea acestei metode .