Introducere in inegalitaȚi. metode

INTRODUCERE IN INEGALITAȚI. METODE

Scopul lecției de fața este acela de a familiariza elevii de clasele VII-IX care se pregatesc pentru concursuri cu cateva din principalele metode de demonstrare a inegalitatilor simetrice și/sau nesimetrice , omogene și/sau neomogene. Lecția poate fi parcursa și fara profesor, exercițiile fiind prezentate gradual, avand in vedere (sau nu) metodele specificate la acel paragraf. La final sunt prezentate indicații de rezolvare dar recomandabil este ca acestea sa fie consultate doar in cazul exercițiilor cu )* sau )** sau la primele aplicații din cadrul fiecarei metode.

A)    INEGALITAȚI UZUALE, SIMETRICE ȘI OMOGENE -CALCUL DIRECT, DESCOMPUNERI IN FACTORI, INSUMAREA UNOR INEGALITAȚI ANALOAGE și/sau INEGALITATEA MEDIILOR

Inegalitatea mediilor pentru doua numere:

,

Inegalitatea mediilor pentru trei numere:

Inegalitatea mediilor pentru numere, :

,

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17)

18)

19)

20)

21)

Concursul Gazeta Matematica și ViitoriOlimpici.ro-Etapa finala, clasa a VII-a, 2010

22) 23)

24) 25)

26) 27)

28)                         29)

30)

31) a)

b)

Olimpiada Naționala de Matematica-Etapa județeana, clasa a IX-a, 2009

32) Daca sunt lungimile laturilor unui triunghi, aratați ca:

B)    INEGALITAȚI OMOGENE- SUBSTITUȚII si/sau INEGALITATEA CAUCHY-BUNIAKOVSKI

Inegalitatea Cauchy-Buniakovski

, ,

Aplicație: Inegalitatea Panaitopol

,

Lucrare: Determinarea viscozitatii cinematice cu viscozimetrul ubbelohde - metoda manuala de determinare Proiect: Modificari biochimice produse de tratamente chimice cu fungicide

Daca astfel incat , aratați ca

(Euler)

C)    INEGALITAȚI NEOMOGENE ȘI/SAU NESIMETRICE -SUBSTITUȚII ȘI/SAU SIMETRIZARE/ OMOGENIZARE

4)*

5)*

6)*                                                                          Test OBMJ, 2008

)

D)    INEGALITAȚI DE TIP CEBAȘEV

Daca și avem doua secvențe de aceeași monotonie, adica :

și , atunci:

, unde reprezinta o permutare a numerelor

2) .

Daca și avem doua secvențe de monotonie inversa, adica :

și , atunci:

1) , unde reprezinta o permutare a numerelor

2) .

(Nesbitt)

E)     INEGALITATEA LUI HOLDER/ INEGALITATEA LUI JENSEN**

HOLDER) Daca și , atunci:

JENSEN)** Daca este o funcție convexa (concava) pe atunci , avem:

Test selecție OIM, Moldova, 2002

3)**

4)**

5)**

6)**

F)     INEGALITAȚI CU DEMONSTRAȚII GEOMETRICE

G)    INEGALITAȚI TRIGONOMETRICE

H)    INEGALITAȚI CARE SE DEMONSTREAZA CU AJUTORUL PROPRIETAȚILOR UNOR FUNCȚII

3)**

4)**

5)**

6)

lungimile laturilor unui triunghi

8)* lungimile laturilor unui triunghi Test OIM, Moldova, 2006

Bibliografie:

A. Petrușel și alții                                                                         Algebra pentru clasele IX-XII, Ed.Studia, 2010

L.Panaitopol, M.Lascu, V.Bandila                                              Inegalitați, Ed.Gil, 1996

I.V.Maftei, M.Piticari, Cezar Lupu și alții                                  Inegalitați alese in matematica, Ed.Niculescu, 2005

Vo Quoc Ba Can                                                                            Old and New Inequalities, Ed.Gil, 2008

INDICAȚII:

Prescurtari utilizate:

IM -inegalitatea mediilor, ma- media aritmetica , mg- media geometrica , mh- media armonica , MS- membrul drept , MD- membrul stang , ICB- inegalitatea Cauchy-Buniakovski , IP- inegalitatea Panaitopol , IC- inegalitatea Cebașev, IH- inegalitatea Holder, IJ- inegalitatea Jensen

A)    1)-4)calcul direct cu descompunere in factori sau binoame sau mg&ma 5),6)calcul direct sau 7)binoame sau mh&ma 8)calcul direct- binoame si mg&ma sau mg&ma de doua ori 9) calcul-binoame sau mg&ma 10) de doua ori ineg sau binoame de doua ori 11) de doua ori mp&ma 12)mh si ma 13)nr.si inv.sau sau mg&ma 14) suma de cuburi in dreapta 15)calcul direct 16) mg&ma sau calcul direct si binoame 17) binoame 18)insumare de ineg analoage -ineg de la 2) 19) insumare de ineg analoage- fiecare fracție e mai mica ca 1/3 20)insumare de mg&ma 21)mg&ma 22),23) calcul direct și binoame 24)-29) mg&ma 30) se obtine prin insumarea unor ineg analoage 31)a) de doua ori mg&ma b) insumarea ineg tip a) 32) descompunere in factori

B)    1)Substituții sau ICB: și cu tranzitivitatea,etc. sau IP.

2)analog       3)

4) etc. sau IP .

5) ,etc. sau IP . 6) ICB

7)

8) im de doua ori pentru 3 numere sau binoame,etc

10) IM de doua ori pentru doua cate doua din numere și adunate relațiile.

11) cu substituțiile: , etc se ajunge la ieg de la A)16) 12) mh&ma

C)    1) In vederea omogenizarii, fie etc 2) analog cu 1) . 3) In vederea omogenizarii: IM etc. 4)*MS asimetric, MD simetric. In vederea simetrizarii MS, obs ca , deci . și astfel ineg devine una simetrica: care se va obține prin insumarea ineg analoage de tipul 5)* Se aplica IP sau, alta abordare:MS asimetric, MD simetric. Prin insumarea ineg de tipul (*). Apare intrebarea :De ce (*)?Caut o ineg de tipul: , care aplicata pentru , dupa insumare sa conduca la un MD simetric.Deoarece egalitatea are loc pentru , adica , deducem ca și obținem: , (descompunerea are loc deoarece iese factor comun- egalitatea avea loc pt ), deci din paranteza dreapta mai iese factor a.i. ineg precedenta sa aibe loc. Atunci pt in paranteza dreapta, ea devine nula, adica a . 6) ineg este echivalenta cu: și consideram, in vederea omogenizarii: ,deci , conform IP. 7) cu se obține ineg de la B) 9).

D)    1) Ineg fiind simetrica in , putem presupune fara a afecta generalitatea problemei ca .Atunci secvențele sunt la fel ordonate, etc 2)inegalitatea nu este simetrica in deci nu putem presupune ca fara a afecta generalitatea problemei. Dar se poate observa ca secvențele sunt la fel ordonate, etc. 3) Se poate presupune, datorita simetriei, ca și atunci tripletele sunt la fel ordonate.Sau se aplica CP al ICB. 4),5) Analog cu 3).

6) Cu IC și IC sau IM, avem: . 7) și se aplica ineg de tip Cebașev.

E)     1) Cu IH avem: , etc. 2) Cu IH generalizata. avem:

. 3)** convexa și etc. 4)** Jensen pentru , ,cu ,deci f convexa. 5)** este convexa deoarece și Jensen. 6)** Daca normam inegalitatea cu ( se inmulțește inegalitatea cu și se simplifica apoi cu .se noteaza tot cu , etc), ineg devine la fel cu cea precedenta.

F) 1) Se considera un triunghi echilateral de latura 1 și astfel ca .Se utilizeaza arii. 2) analog 3)Se considera un triunghi avand doua laturi și unghiul dintre ele de 60 grade,etc.4)Daca in reperul cartezian alegem punctele atunci ineg devine una geometrica, anume: , adica etc. 5) Se aleg in reperul cartezian punctele ,etc.

G) 1) Pentru orice , exista și sunt unice numerele a.i. și Ineg. devine : , evident adevarat. 2) , ineg devine . 3) ,etc

H)    1) Fie și cum este funcție de gradul I, deci monotona, se va realiza in 0 sau 1, etc. 2) Cu obținem: și , ordonand dupa variabila consideraam funcția de gradul al II-lea in care va avea ,etc. 3)** Fie , , . Din tabelul de variație avem: , avand loc pentru și .Analog se considera funcțiile de variabile b,c și considerand , deducem ca și are loc pentru și, dupa calcule- sunt deci 8 triplete in care se va calcula , obținem .4)** analog . 5)** analog cu 3)** doar ca derivata intai a funcției nu ne furnizeaza rapid informații, in timp ce derivata a doua a funcției ne arata ca este convexa deci iși atinge maximul in și atunci și iși atinge maximul in unul din punctele .Se obține

6) .Daca b=1 se arata ca , daca atunci maxf are loc pentru x=0 sau x=1,etc.

7)Putem presupune fara a afecta generalitatea problemei, de exemplu, ca a este cel mai mic dintre

numerele a,b,c și fie

Deoarece , deducem ca ,etc.

8) Cu ICB: și se continua apoi cu ineg precedenta.