Calcul numeric

Calcul numeric

1. Aplicatii simple de calcul numeric

In acest paragraf se prezinta principalele operatii matematice de calcul numeric din matematica.

a) Utilizarea constantelor matematice. Principalele constantele matematice implicite sunt si e.

EXEMPLU

b) Calcule aritmetice.

EXEMPLU

                    

Din cele prezentate in exemplu de mai sus se poate observa ca rezultatele pot fi afisate in diferite formate. Formatul afisarii se poate selecta daca se da dublu clic pe rezultat si apare fereastra de mai jos.

c) Calculul numeric al expresiilor algebrice. Acest calcul se poate efectua daca se cunosc valoric toate elementele expresiei algebrice.

EXEMPLU

d) Utilizarea functiilor matematice. Pentru a folosi principalele functii matematice se utilizeaza paleta Calculator.

EXEMPLU

     

e) Calculul sumelor si produselor. Pentru calculul sumelor si produselor se utilizeaza paleta Calculus.

EXEMPLU

Sa se calculeze suma patratelor numerelor naturale mai mici sau egale cu 10.

                    sau

                        sau

Din exemplul de mai sus se poate observa ca exista diferite moduri de calcul pentru a efectua aceiasi operatie. Acest lucru este valabil si pentru efectuarea produsului.

Sa se efectueze produsul numerelor naturale mai mici sau egale cu 10.

2. Aplicatii in analiza matematica

Calculul derivatelor unei functii de o variabila: intr-un document MathCAD dupa definirea functiei si precizarea punctului in care se doreste evaluarea derivatei, din paleta Calculus se alege , dupa care se precizeaza variabila in raport cu care se calculeaza derivata si apoi functia. Dupa semnul egal, MathCAD va afisa valoarea derivatei. Analog pentru derivatele de ordin superior, insa de aceasta data se alege operatorul .

: Lucrare de laborator – Aplicatii Matlab : Operatiuni elementare cu matrici si functii

EXEMPLU

Consideram functia: .

Daca calculam derivata de ordinul 1 pentru rezulta:

Daca calculam derivata de ordinul 3 pentru rezulta:

Pentru calculul derivatelor partiale ale unei functii de mai multe variabile se utilizeaza semnul care apare daca se face clic cu butonul drept al mouse-ului deasupra operatorului . Din „meniul imediat” care apare se selecteaza View Derivate As si de aici Partial Derivate.

EXEMPLU

Consideram functia

Putem calcula derivatele partiale , pentru ,

                

              

Calculul integralelor se face utilizand icoana de integrare din paleta Calculus. Pentru calculul integralelor trebuie acordata o mare atentie definirii intervalului de calcul.

EXEMPLU

- inseamna ca exista o eroare in definirea acestei integrale.

ceea ce inseamna ca in cazul precedent definirea inceputului intervalului de la valoarea 0 este eronata.

In MathCAD se pot calcula si integrale duble si triple, singura conditie obligatorie pentru obtinerea unui rezultat valid este definirea corecta a intervalelor de integrare.

Calculul limitelor functiilor si sirurilor este de asemenea posibila. Tot in paleta Calculul, se pot gasi trei icoane pentru calcularea limitelor. Acestea se folosesc pentru calcul limitei la stanga, la dreapta si limita intr-un punct.

EXEMPLU

Limita la stanga se calculeaza astfel:

Limita la dreapta se calculeaza astfel:

Pentru a calcula o limita se utilizeaza urmatoarea reprezentare:

Se observa ca pentru evaluarea unei limite nu se mai foloseste semnul “=”. Se v-a folosi tot din paleta Evaluation icoana .

Limitele sirurilor se pot calcula la fel ca si limitele functiilor . Practic singura diferenta este ca in locul functiei se va trece sirul la care dorim sa ii calculam limita.

EXEMPLU

Aplicatii in algebra

Calculul vectorial si matriceal este bine implementat in MathCAD, operatiile cu vectori si matrice efectuandu-se scriind comenzi apropiate de scrierea matematica obisnuita.

Vectorii si matricele se insereaza intr-un document MathCAD din sub-meniul Insert, se selecteaza Matrix, iar in caseta de dialog care apare (Insert Matrix) se precizeaza numarul de linii si de coloane. Operatiile care se pot efectua cu vectori si matrice se regasesc in paleta Matrix

 

Dupa definirea vectorilor se poate trece la calcule cu acestea. Calculele ce se pot efectua sunt prezentate mai jos.

EXEMPLU

Se dau doi vectori:

si

Produsul scalar a doi vectori:

Produsul vectorial a doi vectori:

In continuare vom efectua operatii cu matrice. Se va considera matricea:

Calculul transpusei, determinantul  si inversa matricei A:

              

Cea mai comuna aplicatie cu matrice este rezolvarea sistemelor de ecuatii de tip Cramer.

EXEMPLU

Se da un sistem de ecuatii:

Ecuatia se poate rezolva in mai multe moduri. Doua dintre ele sunt prezentate mai jos.

Rezolvare clasica utilizand inversa:

Rezolvare cu functia lsolve:

Valori si vectori proprii pentru o matrice se pot obtine precizand matricea si apeland la functiile MathCAD eigenvals() si respectiv eigenvec(), (din sub-meniul Insert se alege Function, iar din fereastra Insert Function se selecteaza functia respectiva) ca in figura urmatoare.

Reamintim ca avand o matrice patratica A, se numeste polinom caracteristic . Se numeste valoare proprie a matricei A orice radacina a polinomului caracteristic. Vectorul propriu al matricei A corespunzator valorii proprii λ este orice vector nenul , solutie a sistemului .

EXEMPLU

Se considera matricea:

Valorile proprii se determina astfel:

Vectorii proprii se determina astfel: