Campul hidrodinamic al rotorului

CAMPUL HIDRODINAMIC AL ROTORULUI

Ecuatia cu derivate partiale a functiei de curent, ψ , este o ecuatie Helmholtz de tip eliptic in coordonate cilindrice:

(43)

Diferentiala functiei de curent este:

(44)

unde componentele vitezei sunt:

  (45)

Integrarea acestei ecuatii se face prin FEM utilizand valorile reale ale coordonatelor punctelor din reteaua de discretizare, exprimate in mm. S-a renuntat la tratarea adimensionala a metodei deoarece se rezolva cazuri concrete in care pentru fazele ulterioare se utilizeaza valorile reale ale vitezelor. La rezolvarea sistemului global

in FEM este bine ca necunoscutele, valorile functiei ψ, sa fie de acelasi ordin de marime cu coeficientii dati de coordonatele punctelor pentru a creste precizia de calcul. De aceea admitem pentru ψ valori pe frontiera cuprinse intre 0 si 100.

1 Conditiile la limita pe frontierele domeniului

Frontierele AIHGF si BCDE sunt linii de curent si deci in lungul lor ψ =const. Admitem pe frontiera inel ψ =100 si pe frontiera coroana ψ =0. Astfel pe frontiera de intrare avem un curent uniform cu viteza constanta pe intreaga sectiune:

   (46)

Inlocuind (45) in (43) si integrand rezulta:

(47)

Admitand ca pe frontiera coroana avem ψ =0, inclusiv in punctul B va rezulta constanta de integrare Ci:

(48)

deci legea de variatie a lui ψ pe suprafata de intrare AB va fi:

(49)

Pe frontiera inel, functia de curent va avea o valoare constanta si egala cu cea din punctul A unde r=D0/2, iar ψ =Q/2 π =100 (debitul cvasiunitar).

Pe sectiunea de iesire EF, viteza este repartizata uniform si va fi orientata pe directie radiala, deci:

   (50)

Inlocuind (50) in (43) si integrand avem:

(51)

Admitand acelea si conditii pe frontierele solide rezulta:

(52)

Ca urmare, legea de variatie a lui ψ pe frontiera EF va fi data de relatia:

(53)

Integrarea cu FEM a ecuatiei Helmholtz (43) se va face intr-un domeniu unde valorile functiei sunt impuse pe frontiera ceea ce inseamna ca avem de solutionat o problema de tip Dirichlet.

2 Calculul functiei de curent ψ prin FEM

Cele prezentate anterior au creat toate conditiile necesare pentru integrarea ecuatiei Helmholtz (43) prin FEM. Functia ψ poate fi aproximata global pe Ω prin:

   (54)

unde G este numarul de noduri pe Ω . Aplicand metoda lui Galerkin rezulta:

(55)

Utilizand notatiile din rezolvarea se reduce la solutionarea sistemului liniar global:

  unde (56)

Metoda de solutionare a sistemului a fost metoda Gauss-Seidel iterativa, rezultand in final valorile functiei de curent ψ in nodurile retelei de discretizare. Din punct de vedere matematic liniile de curent sunt definite de locul geometric al punctelor in care functia de curent are aceeasi valoare. Daca intre frontierele de conducere functia de curent ψ ia valori intre 0 si 100, atunci de obicei se cauta liniile de curent pentru ψ =10,20,,90, deoarece ψ =0 si ψ =100 sunt chiar frontierele solide. Identificarea punctelor de pe liniile de curent s-a facut prin interpolare cu functii SPLINE cubice pentru a avea o precizie cat mai buna.

Aplicand aceeasi metodologie ca si la functia de curent ψ s-a integrat si ecuatia pentru functia de potential al vitezei, . , obtinand in final liniile echipotentiale care au fost suprapuse peste liniile de curent asa cum se poate vedea in fig. 7.

Fig.7. Liniile de curent si echipotentiale ale spectrului hidrodinamic

3. Determinarea campului de viteze si presiuni

Luand in considerare relatiile (45) si notatiile din componentele vitezei meridiane in  centrul de greutate al fiecarui element finit se calculeaza cu relatiile:

(57)

Modulul vitezei meridionale se va calcula cu relatia:

(58)

Viteza pe frontiere se calculeaza prin extrapolare. La calculul presiunilor s-a folosit o ecuatie Bernoulli aplicata in lungul liniilor de curent, intre un punct de pe frontiera de intrare si un punct curent din domeniu, puncte care apartin aceleiasi linii de curent. Daca pe frontiera AB viteza este constanta si egala cu v0 si presiunea p este p0 avem ecuatia Bernoulli:

(59)

Raportand vitezele si presiunile curente la v0 respectiv p0 avem formele adimensionale de calcul:

(60)

(61)

In figurile 8 si 9 se prezinta variatia vitezelor reale in lungul liniilor de curent respectiv a coeficientului de presiune Cp pentru cele doua tipuri de rotoare.

Fig.8. Variatia vitezelor in lungul liniilor de current

Fig.9. Variatia coeficientului de presiune Cp in lungul liniilor de current