PROIECT DIDACTIC Clasa : a-XI-a Matematica-Analiza matematica - reprezentarea grafica a functiilor

Grup Scolar Tehnic Baia Mare

PROIECT DIDACTIC

Clasa : a-XI-a A

Obiectul : Matematica-Analiza matematica

Subiectul lectiei : Reprezentarea grafica a functiilor

Tipul lectiei :  Lectie de formare de priceperi si deprinderi de calcul.

Conpetente generale :

Identificarea unor date si relatii matematice si corelarea lor in functie de contextul in care au fost definite.

Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse in enunturi matematice.

Utilizarea algoritmilor pentru rezolvarea unor probleme practice.

Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situatii problema in scopul gasirii de strategii pentru optimizarea solutiilor.

Competente specifice :

1. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferential in rezolvarea unor probleme.

Strategia didactica: activ-participativa.

Metode si procedee didactice :conversatia euristica, exercitiul, demonstratia, munca independenta. 

Material didactic utilizat : manual clasa a-XI-a, fise de lucru .

Tipuri de actitati: frontala si individuala.

Procedee de evaluare: analiza raspunsurilor, observarea sistematica a atentiei, verificarea cantitativa si calitativa a temei.

Scenariu didactic:

1.Moment organizatoric(2' ): Verificarea prezentei elevilor si notarea absentelor (daca sunt) in catalog;

Asigurarea unei atmosfere adecvate  pentru buna desfasurare a orei ;

2.Captarea atentiei ( 2')  : Verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor-elev; elev-elev, prin confruntarea rezultatelor (in cazul in care apar diferente rezultat, se rezolva exercitiile la tabla ).

3.Informarea elevilor asupra lectiei (2'): In cadrul orei de azi vom invata cum sa trasam graficul unei functii. Se anunta si se scrie pe tabla titlul lectiei:

Grafice de functii

4.Verificarea cunostintelor anterioare ( 5'): Se propune elevilor o activitate interactiva frontala. Profesorul pune intrebari elevilor, urmareste completarea raspunsurilor primite si retinerea notiunilor fundamentale insusite anterior de catre elevi si necesare in rezolvarea exercitiilor.

5. Prezentarea de material nou (20')

2.4. Reprezentarea grafica a functiilor

Definitia 2.4.1. Fie o functie reala de variabila reala. Graficul functiei f este multimea: . Reprezentarea geometrica a multimii intr-un reper cartezian xOy se numeste reprezentarea graficului

functiei f.

A reprezenta grafic o functie inseamna a trasa curba intr-un reper cartezian. Reprezentarea grafica a unei functii pune in evidenta anumite proprietati locale si globale ale acesteia.

Pentru a prezenta mai sistematic modul de lucru in trasarea graficului unei functii se recomanda parcurgerea urmatoarelor etape de determinare succesiva a unor elemente caracteristice ale functiei.

1. Domeniul de definitie D. Acesta este dat in enunt sau in caz contrar se determina ca fiind multimea formata din toate punctele pentru care au sens operatiile prin care este definita functia.

Daca functia este periodica, cu perioada principala T, este suficient sa se faca studiul functiei pe intervalul [0, T]  sau un alt interval de lungime T.

Daca functia este para sau impara se poate studia functia pe multimea .

2. Limitele functiei la capetele domeniului de definitie si stabilirea asimptotelor functiei.

Limitele la capetele domeniului de definitie dau informatii despre comportarea functiei in aceste puncte si despre eventuialele asimptote ale graficului functiei.

Asimptotele verticale: sunt drepte de ecuatie x = c astfel incat cel putin una din limitele laterale f(c - 0) sau f(c + 0) este infinita.

Asimptotele orizontale: sunt dreptele de ecuatie y = a , a I R cu proprietatea ca

sau

Asimptotele oblice: sunt dreptele de ecuatie y = mx + n.

Document online: Jocuri muzicale in gradinita Referat: Fisa de evaluare predictiva - evaluare predictiva a achizitiilor prescolare

Daca si atunci dreapta d: y = mx + n este asiptota orizontala spre +∞ .

Daca si atunci dreapta d: y = mx + n este asiptota orizontala spre -∞.

3. Intersectiile graficului cu axele de coordonate

: Se rezolva ecuatia si se retin solutiile . Punctele de intersectie au coordonatele .

. Daca atunci .

4. Studiul functiei cu ajutorul primei derivate. In acesta etapa se determina:

Domeniul de continuitate, de derivabilitate si prima derivata a functiei f.

Se rezolva ecuatia si se stabileste semnul primei derivate.

Se stabilesc intervalele de monotonie si punctele de extrem

5. Studiul functiei cu a doua derivata.

Se calculeaza pe domeniul de existenta.

Se rezolva ecuatia si se stabileste semnul derivatei a doua.

Se stabilesc intervalele de convexitate si intervalele de concavitate, precum si punctele de inflexiune.

6. Tabelul de variatie a functiei.

Rezultatele obtinute la pasii anteriori se introduc intr-un tabel numit tabel de variatie al functiei.

Pe linia intai ( linia lui x) se trece domeniul de definitie si valorile remarcabile ale lui x, determinate anterior.

Pe linia a doua se trece semnul primei derivate, iar pe linia a patra se trece semnul derivatei a doua.

Pe linia a treia se trec limitele functiei la capetele domeniului D, monotonia si convexitatea- concavitatea functiei, valorile functiei in punctele remarcabile. Asimptotele verticale se marcheaza prin linii verticale, trecandu-se limitele laterale corespunzatoare.

Aparitia unor contradictii in tabloul de variatie  cum ar fi: crestere spre -∞, descrestere spre +∞, crestere de la +∞ incolo, indica greseli de calcul la determinarea limitelor functiei sau in calculul primei derivate.

7. Interpretarea tabelului de variatie si trasarea graficului functiei.

Intr-un reper cartezian xOy se traseaza asimptotele, se reprezinta punctele de extrem, punctele de inflexiune, punctele de intersctie ale graficului cu axele de coordonate. Se unesc aceste puncte printr-o linie curba respectand informatiile furnizate de tabelul de variatie.

Exemplul 2.4.1. Sa se reprezinte grafic functia .

Rezolvare:

Domeniul de definitie. Domeniul de definitie este dat in problema: , si coincide cu domeniul de studiu al functiei.

Asiptotele functiei T f nu are asimptote orizontale

Cercetam daca f are asimptota oblica spre +∞: d: y =mx +n

T f nu are asiptota oblica spre +∞

Cercetam daca f are asimptota oblica spre -∞: d:y =mx +n

T f nu are asiptota oblica spre -∞

Deoarece T f nu are asimptote verticale.

Intersectiile graficului cu axele de coordonate

Atasam ecuatia T

T

Studiul functiei cu ajutorul primei derivate. . Atasam ecuatia

Tabelul cu semnul primei derivate si monotonia functie f este:

Rezulta ca functia f este strict crescatoare pe intervalele: (-∞,0] si [2,+∞); f este strict descrescatoare pe intervalul [0, 2].

0 este punct de maxim local si 2 este punct de minim local al functiei f.

Studiul functiei cu ajutorul derivatei a doua. . Atasam ecuatia .

Tabelul cu semnul derivatei a doua si intervalele de convexitate-concavitate ale functie f este:

Rezulta ca f este concava pe intervalul (-∞, 0] si convexa pe [0, +∞); 0 este punct de inflexiune al functiei f.

Tabelul de variatie a functiei. Sistematizand datele obtinute alcatuim tabelul de variatie:

Trasarea graficului.

Interpretand datele din tabelul de variatie se obtine graficul functiei f.

y

4

-1 0 2 x

6.Consolidarea cunostintelor si asigurarea feed-back-ului ( 16'): Fiecare elev va primi cate o fisa de lucru .Pe parcursul rezolvarii exercitiilor, profesorul intervine cu intrebari, adresate atat elevilor de la tabla cat si celor din clasa,pentru a se clarifica demersul rezolvarii.

7.Tema pentru acasa (1'): Se vor propune spre rezolvare ca tema pentru acasa , exercitiile ramase nerezolvate din fisa .

8.Aprecieri (2') : Se noteaza elevii care s-au evidentiat in timpul orei.