Curgere supersonica in jurul unui perete plan semiinfinit

Curgere supersonica in jurul unui perete plan semiinfinit

In cadrul acestei probleme se examineaza curgerea supersonica a gazului in jurul unui perete plan semiinfinit. In punctul O (fig.4.12) peretele se termina. Dupa punctul O se produce devierea curentului de la directia initiala la unghiul β

Fig.4.12. Curgerea supersonica de a lungul unui perete abrupt

Viteza curentului creste, iar presiuna statica in flux scade de la P₁ pana la presiunea din exterior P₂. Fenomenul este la fel ca si in cazul curgerii in jurul unui unghi deschis. Deci, avem cazul curgerii cu expansiune de tip Prandtl-Meyer.

Cunoscand raportul si numarul Mach M₁ se poate determina unghiul de deviere a curentului β aplicand functiile gazodinamice Prandtle-Meyer .

Din solutia ecuatiei diferentiale de miscare (4.59) ,

reiese ca viteza maxima se obtine atunci cand P₂=0, a₂=(V_φ)₂=0 si cand viteza .

Aceasta inseamna ca viteza de curgere maxima rezulta cand curgerea fluxului are loc in vid (P₂=0) ,iar numarul Mach M₁=1.

Valoarea maxima a unghiulul de deviere β are loc cand

, sau cand

Unghiul maxim de deviere β va fi

        ( 4.71)

In cazul cand M = , functia gazodinamica de expansiune ω(M )=0. Rezulta unghiul maxim la care poate fi deviat fluxul de gaz

, ( 4.72)

iar

( 4.73)

Valorile maxime ale unghiurilor pentru exponentul adiabatic k = 1,41 (aer) sunt:

,

NOTA. In cazul in care peretele este subtire, sau daca unghiul de ascutire a muchiei portiunii inferioare este μ < 2π - β_max = 49,6° (pentru k=1,41), intre frontiera fluxului si suprafata peretelui apare o zona cu depresiune, care afecteaza esential curgere. Acest fenomen , denumit fenomenul Coanda, si-a gasit aplicarea in ejectoare gazodinamice pentru crearea efectului de aspiratie (cazul ejectorului cu abur in condensatorul turbinei cu abur pentru crearea vidului).

Probleme rezolvate

Problema 4-1. In miscarea unidimensionala a aerului parametrii de franare sunt: P_o = 5 bar, T_o= 323 K. In punctul cu numarul Mach M₁ =2,5 apare o unda de soc normala (fig. 4.2). Determinati parametrii gazului dupa unda de soc normala P₂, r , T₂, υ₂. Constanta de gaze pentru aer R=287 J/(kg·K). Rezolvati problema cu ajutorul functiilor gazodinamice.

Rezolvare

Se determina cu ajutorul tabelelor gazodinamice [4.1, 4. 2, 4.6] parametrii in amonte de unda de soc normala, cunoscand parametrii gazului franat

Aflam parametrii dupa unda de soc normala.

Dupa raportul presiunilor cu ajutorul tabelelor gazodinamice pentru unda de soc normala, aflam .

Totodata

Pparametrii termodinamici dupa unda de soc normala vor fi:

P₂ = 2,458 1,345 = 3,35 bar

r = 1,862 2,112 = 3,97 kg/m³

T₂ = 1,320 222 = 294,4 K

Viteza dupa unda de soc

Problema 4-2. Determinati presiunea totala P_o care arata tubul Pitot-Prandtl (fig. 4.13) instalat pe bord al unui avion, care zboara cu viteza = 500 m/s, daca temperatura aerului in exterior t = -10 ^oC. Presiunea absoluta a aerului la inaltimea indicata (9 km) P_abs=93000 N/m². Constanta de gaze pentru aer R=287 J/(kg·K).

Fig. 4.13. Tubul Pitot-Prandtl intr-un curent supersonic (problema Raley

Eseu: Reguli privind depozitarea materialelor si substantelor combustibile Referat: Caiet de sarcini pentru demolare

1 - unda de soc normala, tubul Pitot-Prandtl

Rezolvare.

Viteza sunetului locala

Numarul Mach in amonte de unda de soc , unde = 500 m/s .

Raportul presiunilor dupa si inainte undei de soc normale se obtine din ecuatia adiabatei de soc exprimata prin numarul Mach in amonte de unda de soc :

Numarul Mach dupa unda de soc

La randul sau , din tabelele gazodinamice [4.1, 4. 2, 4.6] se afla

.

Presiunea totala care arata tubul Pitot-Prandtl

Problema 4-3. Determinati unghiul b al undei de soc inclinate ( fig. 4.7) , daca unghiul cotului inchis este q , iar numarul Mach in amonte M₁=2,0. Determinati viteza υ₂ dupa unda de soc, daca P₁= 2 bar si T₁ =323 K. Constanta de gaze pentru aer R=287 J/(kg·K). Rezolvati problema cu ajutorul tabelelor gazodinamice.

Rezolvare.

In prima faza rezolvam problema pentru unda de soc inclinata. Din tabele gazodinamice pentru unda de soc inclinata [ 4. 2] sau din relatii pentru unda de soc inclinata se obtine numarul Mach dupa unda de soc M₂ = 1,426 , avand ca date de intrare

numarul Mach in amonte M₁ = 2,0 si curbura curentului q .

Din tabelele [ 4. 2] se detemina raportul parametrilor dupa si inainte de unda de soc oblica si . Totodata din ecuatia de stare rezulta raportul

, din care rezulta T₂ =T₁ ·1,349

Viteza dupa unda de soc inclinata se determina din relatia

Problema 4-4. Se considera miscarea aerului in jurul unui cot inchis, care provoaca o unda oblica (fig. 4.7) cu inclinare b = 64^o. Cunoscand numarul Mach din amonte M₁=2,0,sa se determine unghiul de deviere a curentului q si numarul Mach M₂ dupa unda de soc oblica, precum si raporturile si , unde indicile 1 corespunde parametrilor in amonte, iar 2 - in aval. Rezolvati problema cu ajutorul tabelelor gazodinamice pentru unda de soc oblica.

Rezolvare.

Din tabele gazodinamice [ 4. 2] sau pe baza relatiilor pentru unda de soc inclinata se obtine pentru M₁ = 2 si b = 64⁰ curbura curentului q = 22 ⁰ 581 si numarul Mach dupa unda de soc M₂ = 0,94 (curgere transonica). Raportrile parametrilor dupa si inainte de unda de soc oblica sunt

Problema 4-5. Sa se determine caracteristicile curgerii P₂, r , T₂, M₂ dupa devierea brusca a directiei unui perete ( fig. 4.11) cu unghiul d astfel incat in punctul de cotitura sa apare o unda de expansiune centrata. Curentul initial de aer franat are numarul Mach M₁=2,3 , presiunea P_o = 0,7 MPa si temperatura t_o = 20 ^oC.

Rezolvare

Din tabelele [4.1, 4. 2, 4.6] pentru curgere Prandtle-Meyer se determina unghiul fictiv d de deviere a curentului de la M = 1 la M₁ =2,3;deci d

Cu devierea peretelui la d = 5⁰, rezulta d d d =34 ⁰ +5⁰ = 39⁰

Din acelasi tabele pentru expansiune Prandtl-Meyer se stabileste numarul Mach M₂ in aval de unda de expansiune, reiesind din valoarea unghiului d = 39⁰ , deci M₂ = f (d ) = 2,5.

Pentru M₂ = 2,5 se determina din tabelele gazodinamice functii:

Caracteristicile curgerii P₂, , T₂    dupa devierea curentului vor fi :

P₂ = P₀ 0,059 = 0,41 MPa, T₂ = T₀ 0,446 = 130,7 K

Din ecuatia de stare aflam densitatea aerului franat

Atunci densitatea aerului dupa devierea curentului poate fi usor obtinuta

Problema 4-6. Determinati parametrii P₂, r , T₂, υ₂ dupa unda de expansiune (fig. 4.11), care a aparut la curgerea gazului cu M₁=2,0 in lungul unui cot deschis cu q , daca P₁=2 bar, T₁=323 K, constanta de gaz R=287 J/(kg·K). Rezolvati problema cu ajutorul tabelelor gazodinamice.

Rezolvare

Din tabelele Prandtle - Meyer se determina deviatia fictiva a curentului initial la accelerarea de la M = 1 pana la M₁ = 2,0, deci d

Tinand cont ca peretele este deviat cu 15⁰, determinam deviatia finala

d d + d

Din acelasi tabel gazodinamic se determina numarul Mach in aval de unda de destindere M₂ = f (d ) = 2,59.

Se determina pentru M₁ =2,0 si M₂ =2,59 functiile gazodinamice

si , de unde

Raportul densitatilor si temperaturilor rezulta din transformarea adiabata:

,

Densitatea gazului in amonte de unda de destindere se gaseste din ecuatia de stare

Astfel, parametrii termodinamici dupa unda de destindere vor fi:

P₂ = P₁ 0,398 = 0,0796 MPa ,

r r 0,518 = 1,118 kg/m³ ,

T₂ = T₁ 0,77 = 248,7 K .

Bibliografie

4.1. Абрамович Г.Н.

1991, 592

Balan G., Gazodinamica aplicata. Metode de calcul , Ed. Tehnica-INFO,

Chisinau, 2000, ISBN 9975-63-007-3, 142 pag.

4.3. Сarafoli E., Constntinescu V. N., Dinamica fluidelor compresibile, Ed. Acad.

Romane, Bucuresti, 1984, 886 pag.

4.4. Constantinescu V.N.,Galetuse St. Mecanica fluidelor si elemente de

aerodinamica, E.D.P. ,Bucuresti, 1983, 506 pag.

4.5. Гинзбург И.П. А

4.6. Энергоатомиздат, Москва,

485 c.

4.7. Todicescu Al. Mecanica fluidelor si masini pneumatice, E.P.P., Bucuresti, 1974,

480 pag.