Metoda teoremelor lui Kirchhoff

Metoda teoremelor lui Kirchhoff (calculeaza online rezultatul).

Structura circuitelor se caracterizeaza prin: ramuri (sau laturi), noduri si ochiuri (sau bucle). In figura 2.1 este reprezentat un circuit care contine surse (E₅ si E₆) si rezistoare (R₁, R₂, R₃, R₄, R₅ si R₆).

Se numeste latura (sau ramura) a unui circuit o portiune neramificata a sa, de exemplu latura AB, latura BD, etc. Numarul de laturi ale unui circuit se noteaza cu L. In cazul figurii 2.1, L = 6.

Se numeste nod, punctul de intersectie a cel putin trei laturi ale circuitului. In figura 2.1 nodurile sunt A, B, C si D. Numarul de noduri ale unui circuit se noteaza cu N, in figura 2.1 avem N = 4.

Se numeste bucla (ochi) a unui circuit, un traseu conductor inchis in acel circuit. Numarul de bucle independente (“ochi de plasa”), ale unui circuit se noteza cu litera B. In figura 2.1 pot fi ochiuri urmatoarele trasee: ABDA, DBCD, ADCA, etc.

Teorema I a lui Kirchhoff – se refera la un nod al unei retele electrice, si are urmatorul enunt:

Suma algebrica a intensitatilor curentilor din cele n laturi care converg intr-un nod al unui circuit de curent continuu, este nula:

Ca semn al curentilor se poate considera, de exemplu, semnul plus pentru curentii care pleaca din nod si semnul minus pentru curentii care intra in nod.

Teorema a II-a a lui Kirchhoff – se refera la un ochi de retea, si are urmatorul enunt:

Suma algebrica a tensiunilor electromotoare a surselor din cele N laturi ale unui ochi de retea, este egala cu suma algebrica a produselor dintre rezistenta totala a fiecarei laturi si curentul care parcurge latura respectiva.

Practic pentru calculul curentilor intr-o retea se procedeaza dupa cum urmeaza:

a) Se stabileste numarul de noduri n si numarul de laturi l ale retelei. Se calculeaza numarul de ochiuri sau bucle fundamentale cu relatia: b = l – n + 1.

b) Se atribuie in  mod arbitrar un sens fiecarui curent din laturile retelei; se marcheaza aceste sensuri prin sageti.

c) Se aleg ochiurile independente si sensul de referinta (sau de parcurgere) in fiecare ochi, care se marcheaza printr-o sageata.

d) Se scrie prima teorema a lui Kirchhoff pentru n-1 noduri ale retelei.

e) Se scrie a doua teorema a lui Kirchhoff pentru ochiurile findamentale alese.

f) Se rezolva sistemul de ecuatii obtinut. Curentii care rezulta din calcul, cu semnul plus (pozitivi) circula in latura in acelasi sens cu sensul ales la inceput, in etapa b). Curentii care rezulta din calcul negativi (cu semnul minus), circula in latura corespunzatoare, in sens contrar celui ales initial.

Circuitul are 5 noduri (n = 5), si 4 bucle independente ( care nu se suprapun) (b = 4) si 8 laturi (l = 8). Se verifica ca: l = b+n-1.

Se scriu teoremele lui Kirchhoff, pentru n –1 =4 noduri, si pentru cele 4 bucle independente, rezultand sistemul de ecuatii:

- nod 1:           I₄ – I₁ – I₇ = 0

- nod 2:           I₁ + I₂ + I₈ = 0

- nod 3:           -I₃ - I₂ - I₅ = 0

- nod 4:           I₃ + I₆ – I₄ = 0

- bucla I:          R₁ I₁ – R₇ I₇ – R₈ I₈ = E₁

- bucla II:         R₄ I₄ + R₆ I₆ + R₇ I₇ = E₄

- bucla III:        -R₂ I₂ + R₅ I₅ + R₈ I₈ = -E₂ + E₅

- bucla IV:        -R₃ I₃ + R₅ I₅ + R₆ I₆ = E₅ – E₃

E₁ = 80 V, E₂ = 160 V, E₃ = 50 V, E₄ = 110 V, E₅ = 65 V, R₁ = 20 W, R₂ = 15 W, R₃ = 30 W R₄ = 5 W, R₅ = 5 W, R₆ = 20 W, R₇ = 30 W, R₈ = 10 W

Inlocuind in sistem valorile corespunzatoare coeficientilor, si rezolvand sistemul, in care curentii din laturi sunt neconoscute, prin metoda substitutiei sau folosindu-ne de programul MathCad, se obtin solutiile: I₁ = 3 A, I₂ = 2 A, I₃ = 1 A, I₄ = 4 A, I₅ = -3 A, I₆ = 3 A, I₇ = 1 A, si I₈ = -5 A. Sensurile reale ale curentilor I₅ si I₈ sunt inverse, iar sursa de tensiune E₅ lucreaza in regim de receptor.